群论——置换群

最近研究了一下有关置换群的东西……
群论这个东西博大精深,我也就大概知道一下群的概念(网上随处可见)……
置换这个东西博大精深,我也就大概该了解了一下相关概念:
·置换:我们所说的置换是指集合论中的置换,并不是组合数学中的置换,所以其概念就是一个集合从自身到自身的双射
·轮换、对换见http://www.doc88.com/p-4794548487547.html
·还有一些其他的操作https://wenku.baidu.com/view/9b8d9d32e87101f69e3195f8.html(划重点——置换乘法的性质以及置换的奇偶性)
·另外还有一个非常6的学习笔记http://blog.renren.com/share/285126381/4780754686
置换群这个东西博大精深,我也就大概了解了一下相关概念——见以上链接里的内容以及百度百科https://baike.baidu.com/item/%E7%BD%AE%E6%8D%A2%E7%BE%A4/6194655?fr=aladdin
Burnside引理&&Polya定理相关见ryf和考拉的ppt

基础置换群
这些基础置换群好像就是运用一些置换、轮换、对换的性质,如果你不知道什么是置换的话,也可以做,只不过会描述为环、连环和拆环,然而环、连环和拆环都可以用置换、轮换、对换的运算来解释.
【poj 2369】Permutations *轮换水题
【poj 3128】Leonardo's Notebook *奇偶置换的性质
与这道题相关的更NB的性质见http://blog.csdn.net/lianai911/article/details/49474067
与这个NB性质相关的论文见https://wenku.baidu.com/view/0bff6b1c6bd97f192279e9fb.html
【bzoj 1697】[Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序 && 【bzoj 1119】[POI2009]SLO *略带贪心
【bzoj 1998】[Hnoi2010]Fsk物品调度 ***并查集好题
我打了一个并查集加并查集http://www.cnblogs.com/TSHugh/p/8516902.html
有的人把两个并查集写在一起并称之为链表http://blog.163.com/benz_/blog/static/186842030201142352718885/
还有的人写了一个最坏O(n^2)的假正解http://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/56681777

Burnside引理&&Polya定理
这个东西在ryf和考拉的ppt里已经讲得十分清楚了,好像就是用来计数的,一般就是把方案看成集合中的元素(在这里,置换作为一种映射,其映射过程本身也是有意义的,我们的置换的映射过程就是对应于题目中给出的同构操作)然后找等价类个数,这样就找出来了同构的方案数,另外我感觉Polya定理只不过提供了一种利用Burnside引理的方法.
【bzoj 1004】[HNOI2008]Cards *直接套公式
【bzoj 1547】周末晚会 ***仍然是直接套公式,只不过在计算一种置换下不变的元素的个数时的那个dp还是蛮厉害的
通过这道题我深深地记住了一个结论:
旋转i位时颜色可以不同的位置共有gcd(i,n)个,gcd是d的方案数是phi(n/d).
【poj 2154】Color *直接套公式和上面那个结论
【poj 2888】Magic Bracelet *和poj2154差不多,就是用了一个矩阵乘法优化
结合上面两道题我才有了一点有关求phi的方法的概念:
I.当然是能线筛就线筛.
II.直接求的话,真·根号n就是在找死,枚举所有的质数更是找死.
III.如果根号n枚举的时候一边枚举,一边把枚举到的从n中除去的话,就不会慢了.
IV.如果把枚举小于等于根号n的数改为枚举小于等于根号n的素数的话,就会快很多.
【bzoj 1478】Sgu282 Isomorphism && 【bzoj 1815】[Shoi2006]color 有色图 && 【bzoj 1488】[HNOI2009]图的同构 ***
不错的题,可以考察到对于Polya定理的过程的深入思考,当然也得有一定的计数思维,虽然有的人直接打表水过……