【BZOJ 2957】楼房重建&&Codechef COT5 Count on a Treap&&【NOIP模拟赛】Weed 线段树的分治维护

线段树是一种作用于静态区间上的数据结构，可以高效查询连续区间和单点，类似于一种静态的分治。他最迷人的地方在于“lazy标记”，对于lazy标记一般随我们从父区间进入子区间而下传，最终给到叶子节点，但还有一种做法就是对于作用域一整个区间的标记，就将其放置在此区间节点，查询时再结算其贡献，但无论怎样我们都要保证我们查询到的区间信息的真实性完整性，这就意味着我们接触一个区间若要了解到他的全部有用信息，并不用进入其下层区间（以上两种标记方式往往再结合出现时有巧妙的用处）。于是我们必须高效地合并子区间的信息以维护此区间的信息，对于多数信息我们可以在O（1）时间内高效完成，但是有一些时候我们的合并并不顺利，并不能直接结算，这个时候我们会多记录一些附加信息来便于合并，但是如果这样行不通我们还有另外一种高效的方式，就是在合并的时候我们再对子区间进行分治（往往利用线段树静态分治的天然优势），如果能得到O（log）的复杂度（或者其他可以接受的复杂度），那么就是可行的，这种方法在题目中的三道题中均有应用。

关于【BZOJ 2957】楼房重建，比较裸，直接讲解下两道。懒的说了

Codechef COT5 Count on a Treap

关于这道题你一看题干就不能去打Treap。我们想一想笛卡尔树，那么我们就把这些点用key值（二叉树）排序，然后发现得到的区间里，如果用val值（堆）从大到小切割区间，就得到了我们想要的Treap。两个数之间的最大值（val）就他们的lca，那么我们又发现，每个点向两边的上升序列长度和就是他的深度，这样我们就得到了一种可行方案，现在我们就是要找上升序列列长度，方法同上题。

#pragma GCC optimize("O3")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define mid ((l+r)>>1)
typedef long long LL;
const LL N=200010;
typedef std::pair<LL,LL> pii;
struct Segment_Tree{
  Segment_Tree *ch[2];
  int zlen,ylen,pos;LL max;
  inline void pushup(){
    if(ch[0]->max>ch[1]->max) max=ch[0]->max,pos=ch[0]->pos;
    else max=ch[1]->max,pos=ch[1]->pos;
  }
}*root,node[N<<4];
int n,sz,T;LL q[N][3];
pii poi[N];
inline void build(Segment_Tree *&p,int l,int r){
  p=node+(sz++),p->zlen=p->ylen=1;
  if(l==r){p->max=0,p->pos=l;return;}
  build(p->ch[0],l,mid),build(p->ch[1],mid+1,r);
  p->pushup();
}
inline int zcalc(Segment_Tree *p,int l,int r,LL max){
  if(p==NULL||p->max<=max)return 0;
  if(l==r)return p->max>max;
  if(p->ch[0]->max<=max)return zcalc(p->ch[1],mid+1,r,max);
  else return zcalc(p->ch[0],l,mid,max)+p->zlen-p->ch[0]->zlen;
}
inline int ycalc(Segment_Tree *p,int l,int r,LL max){
  if(p==NULL||p->max<=max)return 0;
  if(l==r)return p->max>max;
  if(p->ch[1]->max<=max)return ycalc(p->ch[0],l,mid,max);
  else return ycalc(p->ch[1],mid+1,r,max)+p->ylen-p->ch[1]->ylen;
}
inline void U(Segment_Tree *p,int l,int r,int pos,LL val){
  if(l==r){p->max=val;return;}
  if(pos<=mid)U(p->ch[0],l,mid,pos,val);
  else U(p->ch[1],mid+1,r,pos,val);
  p->pushup();
  p->zlen=p->ch[0]->zlen+zcalc(p->ch[1],mid+1,r,p->ch[0]->max);
  p->ylen=p->ch[1]->ylen+ycalc(p->ch[0],l,mid,p->ch[1]->max);
}
inline pii Q(Segment_Tree *p,int l,int r,int z,int y){
  if(z<=l&&r<=y)return std::make_pair(p->max,p->pos);
  pii ret=std::make_pair(-1,-1),temp;
  if(z<=mid)temp=Q(p->ch[0],l,mid,z,y);
  if(temp.first>ret.first)ret=temp;
  if(mid<y)temp=Q(p->ch[1],mid+1,r,z,y);
  if(temp.first>ret.first)ret=temp;
  return ret;
}
inline void Qz(Segment_Tree *p,int l,int r,int z,int y,int &ans,LL &max){
  if(z<=l&&r<=y){ans+=zcalc(p,l,r,max),max=std::max(max,p->max);return;}
  if(z<=mid)Qz(p->ch[0],l,mid,z,y,ans,max);
  if(mid<y)Qz(p->ch[1],mid+1,r,z,y,ans,max);
}
inline void Qy(Segment_Tree *p,int l,int r,int z,int y,int &ans,LL &max){
  if(z<=l&&r<=y){ans+=ycalc(p,l,r,max),max=std::max(max,p->max);return;}
  if(mid<y)Qy(p->ch[1],mid+1,r,z,y,ans,max);
  if(z<=mid)Qy(p->ch[0],l,mid,z,y,ans,max);
}
inline int Q(int pos){
  int ret=0,ans=0;LL max=poi[pos].second;
  if(pos!=1)Qy(root,1,n,1,pos-1,ans,max);
  ret+=ans,ans=0,max=poi[pos].second;
  if(pos!=n)Qz(root,1,n,pos+1,n,ans,max);
  ret+=ans;return ret;
}
int main(){
  scanf("%d",&T);for(int i=1;i<=T;++i){
    scanf("%lld",&q[i][0]);
    if(q[i][0]&1)scanf("%lld",&q[i][1]);
    else scanf("%lld%lld",&q[i][1],&q[i][2]);
    if(q[i][0]==0)poi[++n]=std::make_pair(q[i][1],q[i][2]);
  }
  std::sort(poi+1,poi+(n+1)),build(root,1,n);
  for(int i=1,pos,l,r,mi;i<=T;++i)
    switch(q[i][0]){
      case 0:
        pos=std::lower_bound(poi+1,poi+(n+1),std::make_pair(q[i][1],0LL))-poi;
        U(root,1,n,pos,q[i][2]);break;
      case 1:
        pos=std::lower_bound(poi+1,poi+(n+1),std::make_pair(q[i][1],0LL))-poi;
        U(root,1,n,pos,0);break;
      case 2:
        l=std::lower_bound(poi+1,poi+(n+1),std::make_pair(q[i][1],0LL))-poi;
        r=std::lower_bound(poi+1,poi+(n+1),std::make_pair(q[i][2],0LL))-poi;
        if(l>r)l^=r^=l^=r;mi=Q(root,1,n,l,r).second;
        printf("%d\n",Q(l)+Q(r)-Q(mi)*2);break;
    }
}

【NOIP模拟赛】Weed

这道题十分巧妙，我们在线段树上记录三个值，要删之前的多少点，剩下多少点，剩下多少东西，然后单点修改，查询root，维护同理。

#pragma GCC optimize("O3")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define mid ((l+r)>>1)
const int N=200010;
inline void read(int &sum){
  register char ch=getchar();
  for(sum=0;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
  for(;ch>='0'&&ch<='9';sum=(sum<<1)+(sum<<3)+ch-'0',ch=getchar());
}
struct Segment_Tree{
  Segment_Tree *ch[2];
  int del,sum,num;
}*root,node[N<<2];
int sz,n,m;
inline void build(Segment_Tree *&p,int l,int r){
  p=node+(sz++);if(l==r)return;
  build(p->ch[0],l,mid),build(p->ch[1],mid+1,r);
}
inline int Q(Segment_Tree *p,int l,int r,int del){
  if(p->num<=del)return 0;
  if(l==r)return p->sum;
  if(p->ch[1]->num>=del)return p->sum-p->ch[1]->sum+Q(p->ch[1],mid+1,r,del);
  else return Q(p->ch[0],l,mid,del-p->ch[1]->num+p->ch[1]->del);
}
inline void U(Segment_Tree *p,int l,int r,int pos,int key,int opt){
  if(l==r){
    if(opt)p->sum=0,p->num=0,p->del=key;
    else p->del=0,p->num=1,p->sum=key;
    return;
  }
  if(pos<=mid)U(p->ch[0],l,mid,pos,key,opt);
  else U(p->ch[1],mid+1,r,pos,key,opt);
  if(p->ch[0]->num<=p->ch[1]->del)
    p->del=p->ch[0]->del+p->ch[1]->del-p->ch[0]->num,p->sum=p->ch[1]->sum,p->num=p->ch[1]->num;
  else
    p->del=p->ch[0]->del,p->num=p->ch[1]->num+p->ch[0]->num-p->ch[1]->del,
    p->sum=p->ch[1]->sum+Q(p->ch[0],l,mid,p->ch[1]->del);
}
int main(){
  read(n),read(m),build(root,1,n);
  for(int i=1,x,y;i<=n;++i)
    read(x),read(y),U(root,1,n,i,y,x);
  int pos,opt,key;
  while(m--){
    read(pos),read(opt),read(key);
    U(root,1,n,pos,key,opt);
    printf("%d\n",root->sum);
  }
}