Codeforces - 450B 矩阵快速幂

【题目大意】
已知f1=x,f2=y,∀i(i≥2)fi=fi−1+fi+1.$f_1=x,f_2=y,\mathrm{\forall }i(i\ge 2)f_i=f_{i-1}+f_{i+1}.$现给你n,x,y$n,x,y$要求fnmod(109+7)$f_{n}mod({10}^9+7)$。

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【数据范围】
1≤n≤2⋅109,|x|,|y|≤109$1\le n\le 2\cdot {10}^9,|x|,|y|\le {10}^9$。

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【分析】
由fi=fi−1+fi+1$f_i=f_{i-1}+f_{i+1}$，即fi=fi−1−fi−2$f_i=f_{i-1}-f_{i-2}$,又由于n太大，普通的计算方法肯定不行，所以我想到了矩阵快速幂来做，参照斐波拉契数列的矩阵，此题矩阵如下：

[Fn+1Fn]=[11−10]∗[FnFn−1]$$\left[\begin{array}{c}{F}_{n+1}\\ F_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{F}_n\\ F_{n-1}\end{array}\right]$$

可转换如下：

[FnFn−1]=[11−10]n−2∗[F2F1](n≥2)$$\left[\begin{array}{c}{F}_n\\ F_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}\ast \left[\begin{array}{c}{F}_2\\ F_1\end{array}\right](n\ge 2)$$

即最后答案Fn=A[0][0]∗F[2]+A[0][1]∗F[1],$F_n=A[0][0]\ast F[2]+A[0][1]\ast F[1],$而F2=y,F1=x$F_2=y,F_1=x$。
注意最后答案MOD(109+7)$({10}^9+7)$。

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【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<LL> vec;
typedef vector<vec> mat;
const LL MOD = 1000000007LL;
mat mul(mat &A, mat &B) {
    mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
        for(int k = 0; k < B.size(); k++)
            for(int j = 0; j < B[0].size(); j++)
                C[i][j] = ((C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % MOD + MOD) % MOD;
    return C;
}
mat pow(mat A, LL n) {
    mat B(A.size(), vec(A.size()));
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)B[i][i] = 1;
    while(n > 0) {
        if(n & 1)B = mul(B, A);
        n >>= 1;
        A = mul(A, A);
    }
    return B;
}
void solve(LL x, LL y, LL n) {
    mat A(2, vec(2));
    A[0][0] = 1, A[0][1] = -1;
    A[1][0] = 1, A[1][1] = 0;
    A = pow(A, n - 2);
    printf("%lld\n", ((A[0][0] * y % MOD + A[0][1] * x % MOD)%MOD + MOD)% MOD);
}
int main() {
    LL x, y, n;
    scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &n);
    if(n == 1)printf("%lld\n", (x + MOD) % MOD);
    else if(n == 2)printf("%lld\n", (y + MOD) % MOD);
    else solve(x, y, n);
    return 0;
}