HDU - 5015 矩阵快速幂（构造矩阵）

【题目链接】

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已知a[0][1]=233,a[0][2]=2333,a[0][2]=23333⋯(a[0][i]=a[0][i−1]∗10+3)$a[0][1]=233,a[0][2]=2333,a[0][2]=23333\cdots (a[0][i]=a[0][i-1]\ast 10+3)$。
又a[i][j]=a[i−1][j]+a[i][j−1]$a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]$，现给你n个数，a[0][1]∼a[0][n]$a[0][1]\sim a[0][n]$，最后求a[n][m]%10000007$a[n][m]\mathrm{\%}10000007$

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【数据范围】
n≤10,m≤1000000000,0≤ai,0≤1000000000$n\le 10,m\le 1000000000,0\le a_{i,0}\le 1000000000$。

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【分析】

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a0,0a1,0⋮an,0a0,1a1,1⋮an,1⋯⋯⋱⋯a0,ma1,m⋮an,m⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& \cdots & a_{0,m}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& \cdots & a_{1,m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,0}& a_{n,1}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right]$
对于上述n×m$n\times m$矩阵，我们已知第一行第一列，由于ai,j=ai−1,j+ai,j−1$a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}$，即可递推到an,m=a1,m−1+a2,m−1+⋯an,m−1+a0,m$a_{n,m}=a_{1,m-1}+a_{2,m-1}+\cdots a_{n,m-1}+a_{0,m}$。
又n≤10$n\le 10$,即可构造12×12$12\times 12$的矩阵（当n不为10时，由于计算结果时只计算前n行，所以并不影响结果）：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢101010⋮100011⋮10001⋮10001⋮10⋯⋯⋯⋱⋯⋯011⋮11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{cccccc}10& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 10& 1& 0& 0& \cdots & 1\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$
矩阵乘法如下：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0,ma1,ma2,m⋮an,m3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢101010⋮100011⋮10001⋮10001⋮10⋯⋯⋯⋱⋯⋯011⋮11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥×⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0,m−1a1,m−1a2,m−1⋮an,m−13⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{c}{a}_{0,m}\\ a_{1,m}\\ a_{2,m}\\ ⋮\\ a_{n,m}\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}10& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 10& 1& 0& 0& \cdots & 1\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{a}_{0,m-1}\\ a_{1,m-1}\\ a_{2,m-1}\\ ⋮\\ a_{n,m-1}\\ 3\end{array}\right]$
即为：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0,ma1,ma2,m⋮an,m3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢101010⋮100011⋮10001⋮10001⋮10⋯⋯⋯⋱⋯⋯011⋮11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥m×⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0,0a1,0a2,0⋮an,03⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{c}{a}_{0,m}\\ a_{1,m}\\ a_{2,m}\\ ⋮\\ a_{n,m}\\ 3\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}10& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 10& 1& 0& 0& \cdots & 1\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}^m\times \left[\begin{array}{c}{a}_{0,0}\\ a_{1,0}\\ a_{2,0}\\ ⋮\\ a_{n,0}\\ 3\end{array}\right]$
这里只需要做一遍矩阵快速幂求出构造矩阵的m次方，最后对第一列做一遍矩阵乘法即可求得答案。

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【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<LL> vec;
typedef vector<vec> mat;
const LL MOD = 10000007LL;
void print(mat &A) {
    for(int i = 0; i < A.size(); i++) {
        for(int j = 0; j < A[i].size(); j++) printf("%d ", A[i][j]);
        printf("\n");
    }
}
void Init(mat &A) {//构造矩阵
    for(int i = 0; i <= 10; i++) {
        A[i][0] = 10;
        for(int j = 1; j <= 10; j++) {
            if(j <= i)A[i][j] = 1;
            else A[i][j] = 0;
        }
        A[i][11] = 1;
    }
    for(int j = 0; j <= 11; j++) {
        if(j != 11)A[11][j] = 0;
        else A[11][11] = 1;
    }
}
mat mul(mat &A, mat &B) {//矩阵乘法
    mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
        for(int k = 0; k < B.size(); k++)
            for(int j = 0; j < B[0].size(); j++)
                C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j] % MOD + MOD) % MOD;
    return C;
}
mat pow(mat A, LL n) {//矩阵快速幂
    mat B(A.size(), vec(A.size()));
    for(int i = 0; i < B.size(); i++)B[i][i] = 1;
    while(n > 0) {
        if(n & 1)B = mul(B, A);
        n >>= 1;
        A = mul(A, A);
    }
    return B;
}
void solve(mat &A, int n, int m, mat &num) {
    A = pow(A, m);//求得A的m次方存在A中
    num = mul(A, num);//做矩阵乘法
    printf("%lld\n", num[n][0]);//最后答案即为num[n][0]
}
int main() {
    int n, m;
    mat A(12, vec(12));//构造矩阵数组
    mat num(12, vec(1));//第一列可看成12*1的矩阵
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        Init(A);
        for(int i = 0; i <= 11; i++)num[i][0] = 0LL;
        for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i][0]);
        num[11][0] = 3LL;
        num[0][0] = 23LL;
        solve(A, n, m, num);
    }
    return 0;
}