整数划分问题
- 描述
- 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不
同划分个数。
例如正整数6有如下11种不同的划分：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。
- 输入
- 第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。
- 输出
- 输出每组测试数据有多少种分法。
- 样例输入
-
1 6
- 样例输出
-
11
先上代码：
#include<iostream> using namespace std; int q(int n,int m) //数字 n 进行划分，最大值为 m { if((n<1)||(m<1)) return 0; if((n == 1)||(m == 1)) return 1; if(n < m) return q(n,n); if(n == m) return q(n,m-1)+1; //不包含最大值 m + 只含最大值 m return q(n,m-1)+q(n-m,m); //不包含最大值 m + 只含最大值 m } int main() { int T,n; cin>>T; while(T--){ cin>>n; cout<<q(n,n)<<endl; } }
讨论五种情况：
①ｎ＝１：此时无论怎么划分，都只有一种情况。
②ｍ＝１：此时只有ｎ个１这种划分情况。
③ｎ＜ｍ：应该返回ｑ（ｎ，ｎ），这很好理解，因为一个数不可能划分为比自己还大的数
④ｎ＝ｍ：应该返回ｑ（ｎ，ｍ－１）＋１，看成 把ｎ划分为【最大值为ｎ－１的数】和【最大值只为ｎ的数】。因为ｎ＝ｍ，所以最大值为ｎ的话，只有一种数，所以第二种情况为１
⑤ｎ＞ｍ：应该返回ｑ（ｎ，ｍ－１）＋ｑ（ｎ－ｍ，ｍ）看成 把ｎ划分为【最大值为ｍ－１的数】和【最大值只为ｍ的数】。看情况二，比如ｑ（６，４），如果最大值只能为４的话，那么只有【４,２】和【４,１,１】两种情况。看红色部分，相当于把ｎ减去ｍ之后，最大值为ｍ的划分，也就是ｑ（ｎ－ｍ，ｍ）
整数划分（二）
- 描述
-
把一个正整数m分成n个正整数的和，有多少种分法？
例：把5分成3个正正数的和，有两种分法：
1 1 3
1 2 2
- 输入
- 第一行是一个整数T表示共有T组测试数据(T<=50)
每组测试数据都是两个正整数m,n，其中(1<=n<=m<=100),分别表示要拆分的正数和拆分的正整数的个数。 - 输出
- 输出拆分的方法的数目。
- 样例输入
-
2 5 2 5 3
- 样例输出
-
2 2
代码：
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int q(int n,int m) //数字 n 划分为 m 个数字 { if(n<m) return 0; else if(n==m || m==1) return 1; else//一个数字能划分为 含有1的 和 不含有1的 return q(n-1,m-1)+q(n-m,m);//含有1的删掉一个1，n和m都减一。不含有1的所有数字都减一 } int main() { // freopen("2.txt","r",stdin); int T,n,m; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&n,&m); printf("%d\n",q(n,m)); } }
递归，比如将7划分为3个正整数的和，肯定是1,1,5 1,2,4 ，1,3,3, 2,2,3；
这里分成两部分，一部分是包含1，即1,1,5， 1,2,4 1,3,3里面都有1，因此可以划分成1,5, 2,4 3,3(把1除掉) 另一
部分是不包含1，即2,2,3 ，可以将2,2,3分别减去1，即1,1,2，因此递归式就出来了，
q(7,3)=q(6,2)+q(4,3);
即q(m,n)=q(m-1,n-1)+q(m-n,n);
整数划分(三)
- 描述
-
整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。
- 输入
- 多组输入数据。
每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n) - 输出
- 对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行 - 样例输入
-
5 2
- 样例输出
-
7 2 3 3 3
