数论-扩展欧几里得算法

证明链接：http://blog.csdn.net/acmore_xiong/article/details/47694909

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模板：

void exgcd(ll a,ll b,ll&d,ll&x,ll&y){
    if(!b){
        d=a,x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,d,y,x);
    y-=x*(a/b);
} 

 

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 一、求解不定方程

 

1.青蛙的约会

题意：

本题其实是在求不定方程的解。根据题设条件，我们其实是需要找到一个整数ｐ，使方程

（ｘ＋ｐ·ｍ）％Ｌ＝（ｙ＋ｐ·ｎ）％Ｌ

有解。对Ｌ取模可以看成

ｘ＋ｐ１·ｍ＝ｙ＋ｐ１·ｎ＋ｐ２·Ｌ

合并同类项，得到一个不定方程：

（ｎ－ｍ）·ｐ１＋Ｌ·ｐ２＝ｘ－ｙ

设ａ＝ｎ－ｍ，ｂ＝Ｌ，ｃ＝ｘ－ｙ，如果ｃ％ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝＝０，方程有解，我们的目的就是求出ｐ１

样例解释：

ｘ＝１，ｙ＝２，ｍ＝３，ｎ＝４，Ｌ＝５

ａ＝（ｎ－ｍ）＝１，　　ｂ＝Ｌ＝５，　　ｃ＝ｘ－ｙ＝－１

ａ·ｐ１＋ｂ·ｐ２＝ｃ　→　１·ｐ１＋５·ｐ２＝－１　　，ｐ１＝４，ｐ２＝－１

转化为求扩展欧几里得的方程，１·ｐ１’＋５·ｐ２’＝１（ｇｃｄ（１，５）＝１，并且此时的ｐ１＇和ｐ２＇是中间解），两边同时乘以－１：（也就是ｃ／ｒ）

１·（－ｐ１’）＋５·（－ｐ２’）＝－１

１·ｐ１＋５·ｐ２＝－１

ｐ１＝－ｐ１＇，可以求得ｐ１＝－１，ｐ２＝０．此时求得的解是方程的特解，再加上齐次通解就是方程的通解：

ｘ＝ｐ１＋ｋ·ｂ

ｙ＝ｐ２－ｋ·ａ

把ｋ＝１带入，解得ａｎｓ＝－１＋５＝４

求特解的代码：（此时ｐ１＝１，ｃ＝－１，ｂ＝５，ａｎｓ＝－１）

ll ans=c*p1-c*p1/b*b;

 

ＡＣ代码：

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <map>


#define I scanf
#define OL puts
#define O printf
#define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++)
#define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++)
#define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--)
#define LEN 101
#define MAX 1<<30
#define V vector<int>
#define ll long long

using namespace std;

ll gcd(ll a,ll b){
    int c;
    while(b){
        c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll &y){
    if(!b){
        d=a,x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,d,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}

int main(){
//    freopen("青蛙约会.txt","r",stdin);
    ll x,y,n,m,L,a,b,c,r,p1,p2,d;
    while(~I("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)){
        a=n-m,b=L,c=x-y;
        r=gcd(a,b);
        if(c%r){
            puts("Impossible");
            continue;
        }
        a/=r,b/=r,c/=r;
        exgcd(a,b,d,p1,p2);
        ll ans=c*p1-c*p1/b*b;
//        ll ans=(c/r)*p1;
        while(ans<0)
            ans+=b;
        printf("%lld",ans);
    }
}