博弈论-威佐夫博弈
理论分析
问题：首先有两堆石子，博弈双方每次可以取一堆石子中的任意个，不能不取，或者取两堆石子中的相同个。先取完者赢。
分析：首先我们根据条件来分析博弈中的奇异局势
第一个（0 ， 0），先手输，当游戏某一方面对（ 0 ， 0）时，他没有办法取了，那么肯定是先手在上一局取完了，那么输。
第二个（1， 2 ），先手输，先手只有四种取法，
1）取 1 中的一个，那么后手取第二堆中两个。
2）取 2 中一个，那么后手在两堆中各取一个。
3）在 2 中取两个，那么后手在第一堆中取一个。
4）两堆中各取一个，那么后手在第二堆中取一个。
可以看出，不论先手怎么取，后说总是能赢。所以先手必输！
第三个 （ 3 ， 5 ），先手必输。首先先手必定不能把任意一堆取完，如果取完了很明显后手取完另一堆先手必输，那么
假如看取一堆的情况，假设先手先在第一堆中取。 取 1 个，后手第二堆中取4个，变成（1 ，2）了，上面分析了是先手的必输局。
取 2 个，后手第二堆中取3个，也变成（ 1 ， 2）局面了。
假设先手在第二堆中取，取 1 个，那么后手在两堆中各取 2 个，也变成 ( 1 , 2 )局面了。
取 2 个 ，那么后手可以两堆中都去三个， 变成 （ 0 ， 0）局面，上面分析其必输。
取 3 个，后手两堆各取 1 个 ，变成（ 1 ， 2）局面了。
取 4 个，后手在第一堆中取一个，变成（ 1 ， 2）局面了。
可见不论先手怎么取，其必输！
第四个（4 ， 7），先手必输。
自己推理可以发现不论第一次先手如何取，那么后手总是会变成前面分析过的先手的必输局面。
那么到底有什么规律没有呢，我们继续往下写。
第5个 （ 6 ，10 ）
第6个 （ 8 ，13）
第7个 （ 9 ， 15）
第8个 （ 11 ，18）
会发现他们的差值是递增的，为 0 ， 1 ， 2， 3， 4 ， 5 ， 6， 7.....n
而用数学方法分析发现局面中第一个值为前面局面中没有出现过的第一个值，比如第三个局面，前面出现了 0 1 2，那么第三个局面的第一个值为 3 ，比如第五个局面，前
面出现了 0 1 2 3 4 5 ,那么第五个局面第一个值为6。
再找规律的话我们会发现，第一个值 = 差值 * 1.618
而1.618 = （sqrt（5）+ 1） / 2 。
大家都知道0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，这就是博弈的奇妙之处！
下面来看看威佐夫博弈常见的两类问题：
1）给你一个局面，让你求是先手输赢。
有了上面的分析，那么这个问题应该不难解决。首先求出差值，差值 * 1.618 == 最小值 的话后手赢，否则先手赢。（注意这里的1.618最好是用上面式子计算出来的，否则精
度要求高的题目会错）
2）给你一个局面，让你求先手输赢，假设先手赢的话输出他第一次的取法。
首先讨论在两边同时取的情况，很明显两边同时取的话，不论怎样取他的差值是不会变的，那么我们可以根据差值计算出其中的小的值，然后加上差值就是大的一个值，当
然能取的条件是求出的最小的值不能大于其中小的一堆的石子数目。
加入在一堆中取的话，可以取任意一堆，那么其差值也是不定的，但是我们可以枚举差值，差值范围是0 --- 大的石子数目，然后根据上面的理论判断满足条件的话就是一种合理的取法。
代码：
#include <stdio.h> #include <memory.h> #include <math.h> #include <string> #include <vector> #include <set> #include <stack> #include <queue> #include <algorithm> #include <map> #define I scanf #define OL puts #define O printf #define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++) #define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++) #define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--) #define LEN 1000 #define MAX 1<<30 #define V vector<int> using namespace std; int main(){ // freopen("D:\\CbWorkspace\\博弈论\\取石子游戏.txt","r",stdin); int n,m; while(~I("%d%d",&n,&m)){ int a=min(n,m); int b=max(n,m); int delta=b-a; if(a==int(((sqrt(5)+1.)/2.)*double(delta))) puts("0"); else puts("1"); } return 0; }
直接用公式ｉｆ（ａ＝＝ｄｅｌｔａ＊（１．６１８））得到
１．６１８＝［ｓｑｒｔ（５）＋１］／２
代码：
#include <stdio.h> #include <memory.h> #include <math.h> #include <string> #include <vector> #include <set> #include <stack> #include <queue> #include <algorithm> #include <map> #define I scanf #define OL puts #define O printf #define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++) #define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++) #define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--) #define LEN 100005 #define MAX 1<<30 #define V vector<int> using namespace std; int a[LEN]; int b[LEN]; int v[LEN]; int cnt=0; void build(int n){ int i,j; memset(v,0,sizeof v); for(i=0;i<=n;i++){ for(j=i;j<LEN;j++){ if(!v[j]){ a[i]=j; b[i]=i+j; v[a[i]]=1; v[b[i]]=1; break; } } } } int main() { int n; // freopen("D:\\CbWorkspace\\博弈论\\Wythoff Game.txt","r",stdin); while(~I("%d",&n)){ build(n); for(int i=0;i<=n;i++){ O("(%d,%d)",a[i],b[i]); } puts(""); } }
这段代码体现了威佐夫博弈必败点生成的过程，非常有学习意义：
