回溯法 | 旅行商问题（TSP问题）
学习链接：
回溯法解旅行商问题(TSP)、贪心算法：旅行商问题（TSP）
今天早上做了无数个梦，然后被紧紧地吸附在床上。挣扎一番后爬起来，已经是9点了。然后我开始研究旅行商问题。
在一个无向图中找到一个可以遍历所有节点的一个最短回路。理论上说可以用全排列列出所有解的下标，然后一个一个试，时间复杂度o(n!)。但是可以用回溯法，用【约束函数】（constraint）判断当前路径是否连通，用【界限函数】（bound）判断当前路径是否比已经求得的最短路径小。这两个判断任意一个不符，则做“剪枝操作”（不再对后续节点进行遍历）。
可以看出回溯法比穷举要高明的多。这个回溯法和八皇后问题也有一些区别。TSP问题需要构造一棵排列树：
根节点为｛０｝
第一层｛０,１｝
第二层｛０,１,２｝，｛０,２,１｝
第三层｛０,１,２,３｝，｛０,１,３,２｝，｛０,２,１,３｝，｛０,２,３,１｝，｛０,３,１,２｝，｛０,３,２,１｝
……
并且回溯法要求对图进行ＤＦＳ操作，即深度优先搜索。因为需要首先首次找到最深处的节点，才能设置当前最优解，好让后续问题能有参考。
Java代码：
1 public class Main { 2 3 public static void main(String[] args) { 4 int[][] adjMatrix={ 5 {0,20,6,4}, 6 {20,0,5,10}, 7 {6,5,0,15}, 8 {4,10,15,0}, 9 }; 10 TSP problem=new TSP(adjMatrix); 11 12 13 } 14 } 15 16 class TSP{ 17 int vexnum=0;//顶点数目 18 int adjMatrix[][]; 19 TSP(int[][] adjMat){ 20 adjMatrix=adjMat; 21 vexnum=adjMatrix.length; 22 int init[]={0}; 23 Backtrack(1,init); 24 int a; 25 a=0; 26 } 27 int bestCost=0; 28 int[] bestX;//最优解向量 29 boolean isTraverseDeep=false; 30 //回溯法递归 31 //初始x：[0] 32 void Backtrack(int t,int[] x){//对顶点t进行操作，父结点的解向量是x， 33 if(t>=vexnum){//解向量的第一个元素应该是初始顶点，如0，最后一个元素也是0 34 x[t]=0;//最后一个节点赋值：0。 35 constraint(x,t); 36 37 }else{//所有顶点都解完 38 int i,j; 39 int cx[]=new int[vexnum+1]; 40 for(j=0;j<t;j++) cx[j]=x[j];//拷贝父结点 41 cx[t]=t; 42 if(constraint(cx,t)) Backtrack(t+1,cx);//不交换的情况下进行递归 43 //不断递归调用【Backtrack】，进行DFS 44 for(i=1;i<t;i++){ 45 cx=new int[vexnum+1]; 46 for(j=0;j<t;j++) cx[j]=x[j];//拷贝父结点 47 cx[t]=t; 48 swap(cx,i,t); 49 if(constraint(cx,t)) Backtrack(t+1,cx);//交换的情况下进行递归 50 } 51 } 52 } 53 boolean constraint(int[] x,int len){//对解进行约束 54 int cost=0; 55 int i; 56 int pre=x[0]; 57 for(i=1;i<=len;i++){ 58 int dist=adjMatrix[pre][x[i]]; 59 if(dist<=0) return false;//不连通，则为否。约束（constraint）函数 60 cost+=dist; 61 pre=x[i]; 62 } 63 if(isTraverseDeep){//如果已经进行了最底部的遍历，则对这个当前花费进行判别。界限（bound）函数 64 if(cost<bestCost){//比最优解要小 65 if(len==vexnum){//已经遍历完 66 bestCost=cost; 67 bestX=x;//设置最优解向量 68 } 69 return true; 70 }else return false; 71 }else if(len==vexnum){//首次遍历到底部 72 bestCost=cost; 73 bestX=x;//设置最优解向量 74 isTraverseDeep=true; 75 return true; 76 } 77 return true; 78 } 79 private void swap(int[] nums,int a,int b){ 80 int tmp=nums[a]; 81 nums[a]=nums[b]; 82 nums[b]=tmp; 83 } 84 }
