复变函数笔记—(0)前置知识

复变函数笔记$—(0)前置知识$

• 函数相关
• 微分初步
• 积分初步

加减乘除、集合相关等默认已知
本篇为前置内容，仅做简要阐述
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函数相关：

映射：

（基本符号：$∀$任意，$∃$存在，$∧$且，$∨$或，$s.t.$使得）

 两个非空集合 $A~和~B$，某种对应方式 $f:A \mapsto B$ 对于 $∀x∈A$ 满足：

$$(x \mapsto y_1)∧(x \mapsto y_2) \Rightarrow y_1=y_2$$

 即不能一个对应多个，则称该对应方式 $f$ 为一个从 $A$ 到 $B$ 的映射。
 其中 $A$ 称为 $f$ 的定义域，由所有 $y=f(x)$ 构成的集合 $f(A)$ 称为 $f$ 的值域，其中 $x∈A$。如果 $y=f(x)$，称 $y$ 是 $x$ 的象，$x$ 称为 $y$ 的原象。

 如果映射 $f:A \mapsto B$ 对于 $∀x_1,x_2∈A$ ：

$$f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow x_1=x_2 \tag{1}$$

$$B=f(A) \tag{2}$$

$1.$满足$(1)$，即不同输入一定对应不同输出，那么称 $f$ 为单射；
$2.$满足$(2)$，即整个 $B$ 就是 $f$ 的值域，那么称 $f$ 为满射；
$3.$如果既满足$(1)$也满足$(2)$，即 $f$ 即是单射也是满射，那么称 $f$ 为双射。

函数

 当映射 $f$ 的定义域和值域均为数集时，则称 $f$ 为函数。
 函数按组成可简单分为初等函数和非初等函数，其中初等函数就包括中学就学习了的多项式函数、（反）三角函数、指数函数、对数函数以及它们与常数有限次的有理运算（加减乘除、有理次方）。这类函数都有具体的解析式，研究方式也较为相似。
 而在分析学中，更喜欢将函数按性质分类，其中就有线性、连续、有界、可微、可积等分类。下面将给出其中“有界”和“连续”的概念。

$\mathbf{1.}$有界

 如同这明显的字面意思，函数有界就表示函数值有个范围，并不是无限的，其数学化的定义是：

$$∃M,m∈\mathbb{R}~s.t.∀x∈A,m≤f(x)≤M$$

 即存在实数 $M,m$ 使得所有的 $f(x)$ 都大于等于 $m$，小于等于 $M$，则称函数 $f$ 有界。其中 $M$ 称为 $f$ 的上界，$m$ 称为 $f$ 的下界，上（下）界并不唯一。最小（大）的上（下）界称为上（下）确界，上（下）确界唯一。

 例如 $f(x)=\sin(x)$，通过中学知识就可知道 $-10≤f(x)≤10$，所以 $10$ 和 $-10$ 是 $f$ 的上、下界。同样地，可知 $2$ 和 $-2$ 也是 $f$ 的上、下界，所以上、下界并不唯一。但是在所有的上、下界中，$1$ 是最小的上界，$-1$ 是最大的下界，所以 $1$ 和 $-1$ 是 $f$ 的上、下确界，是唯一的。

$\mathbf{2.}$连续

 众所周知，函数是可以用图象表示出来的（其实只有一元、二元实函数这类可以），那又如同这明显的字面意思，函数连续就是函数图象是连续的！（ ？）这种直觉在18世纪可能还真是主流，幸好波尔查诺在19世纪前叶给出了第一个函数连续的恰当数学定义。
 先引出邻域的概念：任何包含 $x_0$ 且以此为中心的开集称为 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x_0)$。由此可见，邻域并不唯一（除非给定邻域半径）。
 较广泛的函数连续的邻域定义：

$$\begin{align} &y_0=f(x_0),y=f(x) \notag \\ &∀U(y_0),∃U(x_0)s.t.∀x∈U(x_0),y∈U(y_0) \notag \end{align}$$

 即无论 $y_0$ 周围多小的范围，都有一个 $x_0$ 周围对应的区域，使得该区域里的点的象都在 $y_0$ 周围那个小范围里，则称 $f$ 在 $x_0$ 点连续。另一种等价但不严谨的说法为：自变量变化无穷小，因变量也变化无穷小。

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微分初步

微分

 在研究函数时，通常需要研究其增速，而在研究增速时，分为平均和瞬时（“时”似乎不准确）。对于平均，采取的方法是 $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$，而对于瞬时，采取的方法是 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$，对于这种趋于 $0$ 的增量，称之为微分，定义：

$$df(x)=f(x+dx)-f(x)$$

 称为 $f$ 的微分，$d$ 等价于趋于 $0$ 的 $\Delta$。

导函数

 由微分的定义可以看出，$f$ 的微分与 $f$ 和 $dx$ 有关，即 $df=G(f,dx)$。又因为 $df$ 和 $dx$ 都是趋于 $0$ 的，所以可以用与 $dx$ 有关的线性函数（可理解为一次函数）去逼近 $df$，即：

$$df=L(f)·dx+o(dx)$$

 $o(dx)$ 是 $dx$ 的高阶无穷小，于是将线性近似的系数 $L(f)$ 称为 $f$ 的导函数，记作 $f'$ 或 $\frac{df}{dx}$。所以从某种意义上说，微分是一种线性近似，导函数则是线性近似的系数。

 在这里给出 $f(x)=e^x$ 的导数求法，其余请自行掌握。
 首先看到极限：

$$\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}&=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}·\ln(1+x) \\ &=\lim\limits_{x \to 0} \ln(1+x)^{\frac{1}{x}} \\ &=\ln(e) \\ &=1 \end{align*}$$

 对此进行换元 $t=\ln(1+x)$，所以 $\frac{\ln(1+x)}{t}=1$，且又因为 $\ln(1+x)$ 与 $x$ 为等价无穷小，所以 $t$ 与 $x$ 也为等价无穷小，即 $\lim\limits_{x \to 0}$ 等价于 $\lim\limits_{t \to 0}$，最终换元得到：

$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{e^{t}-1}=1 \tag{3}$$

 然后看到 $f(x)=e^{x}$ 的导数：

$$\begin{align*} \frac{df(x)}{dx} & = \frac{e^{x+dx}-e^{x}}{dx} \\ & = e^{x}·\frac{e^{dx}-1}{dx} \\ & = e^{x} \end{align*}$$

 最后一步用到了等式 $(3)$，所以 $f(x)=e^{x}$ 的导数是其本身。


 不难验证，微分满足以下：

$$df(x)=f'(x)dx$$

 这将在积分求解中有很大运用。

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积分初步

不定积分

 数学中，很讲究一种对称，对于运算就体现在如同加减、乘除这样的逆运算。对于微分运算，也定义了一种逆运算$—$不定积分：

$$∫df=f+Const$$

 容易验证，$f$ 加上一个常数的微分等于 $f$ 的微分，所以等式右边加上了常数。不定积分是求微分所有的原函数，故得出的结果为一个函数族（即一堆函数）。

 不难证明，微分满足 $df(x)=f'(x)dx$，所以对于上面的函数 $f(x)=e^{x}$ 有：

$$∫de^{x}=∫e^{x}dx=e^{x}+C.$$

 和微分一样，一些运算技巧请自行掌握。

定积分

 定积分从形式上看就是对求和的连续化，其定义可以是：

 把闭区间 $I$ 分割为若干不相交的区间 $I_{i}$，其中 $t_{i}∈I_{i}$ 且 $ρ(I_{i})$ 表示 $I_{i}$ 的测度（例如若 $I∈\mathbb{R}^{2}$ 其测度可以为面积），然后把：

$$\int_{I}f(x)dx=\lim_{max\{ρ(I_{i})\} \to 0} \sum_{i}f(t_{i})·ρ(I_{i})$$

 的极限称为函数 $f$ 在闭区间 $I$ 上的定积分。

 即要求分割后的区间里，最大的测度趋于 $0$（相当于所有 $I_{i}$ 测度都趋于 $0$ 了），再把 $f(t_{i})·ρ(I_{i})$ 求和，这个极限就是定积分，所以与不定积分不同，定积分的本质是一个数。
 对于简单的一元实函数，测度取区间的长度，定积分表示的就是该区间上函数图象与$x$轴围成的面积。若是二元实函数，测度取区间面积，定积分则是在区间 $I$ 上函数图象与$xoy$平面围成的体积。
 定积分具体的计算还是和微分有关，而联系起微分和积分的就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼茨公式：

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)，其中~dF=fdx$$

 但是发展了这么久都微积分，定积分早已不只有这么简单，微分形式的多样造就了积分的多样，这里简单介绍复变函数里会用到的两种形式。

$\mathbf{1.}$二重积分

 二重积分就是上面提到过的对于二元实函数，测度取面积的积分。其形式为：

$$\iint_{D}f(x,y)dσ$$

 其中 $D$ 为积分区间，$dσ$ 为面积微元，也可写作 $dxdy,(dx∧dy)$（后者为外微分）。

 其计算就是代入上下限当做两个积分依次算，例如：

$$\iint_{D}xy-x^{2}dxdy$$

 其中 $D$ 为 $y=x$ 和 $y=x^{2}$ 围成的区域：

 这里最主要的就是确定积分顺序，若是先积 $y$ 再积 $x$，就要按照这个去确定上下限，然后依次积分。如对 $y$ 积分时，可把 $x$ 看作常数：

$$\begin{aligned} \iint_{D} x y-x^{2} d x d y &=\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} x y-x^{2} d y \\ &=\int_{0}^{1} \frac{1}{2} x y^{2}-\left.x^{2} y\right|_{x^{2}} ^{x} d x \\ &=\int_{0}^{1} \frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x^{3}+x^{4} d x \\ &=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{3}{8} x^{4}+\left.\frac{1}{5} x^{5}\right|_{0} ^{1} \\ &=-\frac{1}{120} \end{aligned}$$

 具体计算还是请自行掌握，这不是本篇重点。

$\mathbf{2.}$第二类曲线积分

 在物理中第二类曲线积分应用较多，用于求在力场中沿某曲线运动所做的功，其数学形式为：

$$\int_{L} \vec{F}·\vec{ds}=\int_{L}Pdx+Qdy$$

 其中 $\vec{F}=(P,Q)$，$L$ 为积分区域，是有向曲线段。若 $L$ 为闭合曲线，积分号写作 $\oint$。

 其计算就是找到一个独立变量把 $x$ 和 $y$ 写作参数方程的形式，然后化成普通的积分计算。

 例如积分：

$$\int_{L} -\sqrt{x^{2}+y^{2}}·x·dx-\sqrt{x^{2}+y^{2}}·y·dy$$

 其中积分区域 $L$ 为：$\frac{(x-1)^{2}}{2}+y^{2}=1,y≥0$，方向为逆时针，即：

 对于这个积分区域，可以写作：

$$\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(\theta)=\sqrt{2}·\cos \theta+1 \\ y=\psi(\theta)=\sin \theta \end{array}\qquad\theta \in[0, \pi]\right.$$

 于是对于原积分就可以写作：

$$\begin{aligned} &\int_{L}\sqrt{x^{2}+y^{2}}·x·dx-\sqrt{x^{2}+y^{2}}·y·dy \\ =&\int_{L}-\sqrt{\varphi^{2}+\psi^{2}} \varphi·d\varphi-\sqrt{\varphi^{2}+\psi^{2}}\psi·d\psi \\ =&\int_{0}^{\pi}-\left(\varphi·\varphi'+\psi·\psi'\right)·\sqrt{\varphi^{2}+\psi^{2}}·d \theta \\ =&\int_{0}^{\pi}-[-(\sqrt{2}·\cos \theta+1)·\sqrt{2}·\sin \theta+\sin \theta·\cos \theta]·\sqrt{\cos ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta+2}·d \theta \\ =&\int_{0}^{\pi}(\cos \theta\sin \theta+\sqrt{2}·\sin \theta)(\cos \theta+\sqrt{2})·d \theta \\ =&\int_{0}^{\pi}(\cos \theta+\sqrt{2})^{2}·\sin \theta·d \theta \end{aligned}$$

 这样就把第二类曲线积分化成了普通的积分，并且这积分也并不难，做一步换元就可以：

$$\begin{aligned} &\int_{0}^{\pi}(\cos \theta+\sqrt{2})^{2}·\sin \theta·d \theta \\ =&\int_{-1}^{1}(t+\sqrt{2})^{2} d t \\ =&\frac{1}{3} t^{3}+2 t+\left.\sqrt{2}·t^{2}\right|_{-1} ^{1} \\ =&\frac{14}{3} \end{aligned}$$

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 以上就是本篇全部内容，为一些复变函数的基本前置内容。
 写于2022年1月31日大年二十九，祝各位新年快乐。