01-向量究竟是什么？

引入一些数作为坐标是一种鲁莽的行为。

​ —赫尔曼‧外尔

向量究竟是什么？

一般来说，有三种看待向量的观点，看似不同却有所关联

• 物理专业学生视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和它所指的方向，但是只要以上两个特征相同，你可以自由移动一个向量而保持它不变
• 计算机专业学生视角：向量是有序的数字列表
• 数学家视角：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加及数字与向量相乘是有意义即可

思考“向量”的特定方式

• 在线性代数中，向量通常以原点作为起点

• 原点是整个空间的中心和所有向量的根源

向量是空间中的箭头

• 每当引入一个关于向量的新主题时，首先考虑一个箭头。更具体地说，考虑这个箭头落在某个坐标系中，比如x-y平面，并且箭头起点位于原点

向量是有序的数字列表

• 一个向量的坐标由一对数构成，这对数指导你如何从原点（向量起点）出发到达它的尖端（向量终点）

• 第一个数告诉你沿着x轴走多远，正数代表向右移动，负数代表向左移动；第二个数告诉你在此之后沿着y轴的方向走多远，正数代表向上移动，负数代表向下移动

• 每一对数给出唯一一个向量，而每一个向量恰好对应唯一一对数

向量基础运算

• 向量加法与向量数乘贯穿线性代数始终，二者起着很重要的作用

向量加法

几何角度

• 假设这里有两个向量，一个指向上方，略微偏右；另一个指向右方，略微偏下

• 为了把它们相加，我们平移第二个向量，使它的起点与第一个向量的终点重合。然后画一个向量，它从第一个向量的起点出发，指向第二个向量的终点，这个向量就是它们的和
• 顺便一提，这个向量加法的定义差不多是线性代数中唯一允许向量离开原点的情形

• 可以这么理解：把每个向量看作一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出一定距离。如果你先沿着第一个向量运动，然后再按照第二个向量所描述的运动方式运动，总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异

数学角度

• 第一个向量的坐标是（1，2），第二个向量的坐标是（3，1）

• 当用向量首尾连接的方法加和向量时，可以把它看做一个从原点出发，到第二个向量终点的四步运动。向右1步，向上2步，向右3步，最后向下1步。我们重新编排它们的顺序，使得我们先完成所有水平运动，再完成所有竖直运动。可以看出来，首先向右（1+3）步，然后向上（2-1）步，所以新向量的坐标就是（1+3，2+（-1））

• 总的来说，在“向量是有序的数字列表”观点里，向量加法就是把对应项相加

向量乘法

• 比如说你选择数字2，把它与一个给定向量相乘，意味着你把这个向量拉长为原向量的2倍

• 再比如，如果将向量乘以1/3，就意味着这个向量长度缩短为原来的1/3

• 当向量与一个负数相乘时，比如-1.8，说明这个向量首先反向，然后伸长为原来的1.8倍

• 这种拉伸或压缩，有时又使向量反向的过程被称为“缩放“。而我们选择的2、1/3、-1.8或其他任何数，它们用于缩放向量，被称为“标量”。实际上至始至终，数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量，所以“标量”和“数字”两个词通常在这里可以相互替换。从数学的角度来看，将一个向量伸长为原来的2倍，对应于将每一个分量分别乘以2，所以将向量看作一个数字列表时，向量与标量的相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘