重学数据结构之图
一、图
1.基本概念
图是一种抽象的数学结构，研究抽象对象之间的一类二元关系及其拓扑性质。而在计算机的数据结构领域中，图则是一种复杂的数据结构。
一个图是一个二元组 G = (V, E)，其中：
- V 是非空有穷的顶点集合，也可以有空图。
- E 是顶点偶数对的集合，即两个顶点组成一条边。
- V 中的顶点也被称为图 G 的顶点，E 中的边也被称为图 G 的边。
图分为无向图和有向图。在无向图中边没有方向，用圆括号表示，例如(v1, v2)。在有向图中边是有方向的，用尖括号表示，例如<v1, v2>。
2.一些概念和性质
1.完全图
完全图：任意两个顶点之间都有边的图。完全图有如下性质：
- n 个顶点的无向完全图有 n*(n-1)/2 条边。
- n 个顶点的有向完全图有 n*(n-1) 条边。
2.路径
对于图 G=(V, E)，如果存在顶点序列如 Vi0，Vi1，...，Vin，使得 (Vi0，Vi1）、(Vi1，Vi2）、...(Vin-1，Vin）都是图的边，则说从 Vi0 到 Vin 存在路径，并称 Vi0，Vi1，...，Vin 是从顶点 Vi0 到 Vin 的一条路径。对于路径，还有如下概念：
- 路径的长度就是该路径上边的数量。
- 成环的路径就是起点和终点相同的路径。
- 简单路径就是不含环的路径，也就是说除了该路径的起点和终点可能相同外，其他顶点均不相同。
需要注意的是，从一个顶点到另一个顶点，可能存在路径，也可能不存在路径。如果存在路径，还可能存在多条路径。
3.连通图
1）连通
如果在一个无向图中存在 vi 到 vj 的路径，则称这两个顶点连通。
2）连通无向图
如果无向图 G 中任意两个顶点之间都连通，则称 G 为连通无向图。
3）强连通有向图
如果对于有向图 G 中任意两个顶点 vi 和 vj ，从 vi 到 vj 连通并从 vi 到 vj 也连通，则称 G 为强连通有向图。
4）带权图
如果图 G 中的每条边都被赋予一个权值，则称 G 为带权图，可以是有向图也可以是无向图。边的权值可用于表示实际应用中与顶点之间的关联的有关信息，带权的连通无向图也被称为网络。
3.抽象数据类型
图作为一种复杂的数据结构，可以给图定义如下操作：
ADT Graph:
Graph(self) # 用于创建一个图
is_empty(self) # 判断图是否为空
get_vertex(self) # 获取顶点数量
get_edge(self) # 获取边的数量
add_edge(self, v1, v2) # 添加一条 v1 到 v2 的边
has_edge(self, v1, v2) # 是否有 v1 到 v2 的边
print(self) # 打印图
二、图的表示和实现
1.邻接矩阵表示法
图的最基本表示方法是邻接矩阵表示法。邻接矩阵是表示图中顶点间邻接关系的矩阵，对于一个有 n 个顶点的图 G=(V, E)，其邻接矩阵是一个 n*n 的矩阵，图中每个顶点对应于矩阵里的一行和一列。
最简单的邻接矩阵是以0/1为元素的，即对于图 G 的邻接矩阵，当 Aij 为0时，表示顶点 vi 和 vj 无边， 当 Aij 为1时，表示顶点 vi 和 vj 有边。邻接矩阵表示了图中的顶点数量和顶点间的关系（即边），每个顶点对应矩阵的一对行列下标，听过一对下标就可以确定图中的某条边是否存在了。
要使用 Python 实现一个图类，可以使用列表（list）或者 numpy 模块里的矩阵（array），这里就用列表来实现，即用 list 为元素的 list，具体代码如下：
1 # 使用邻接矩阵 2 class Graph: 3 def __init__(self, v): 4 self.V = v 5 self.E = 0 6 self.data = [[0 for _ in range(v)] for _ in range(v)] 7 8 def is_empty(self): 9 """ 10 判断图是否为空 11 :return: 12 """ 13 return self.V == 0 14 15 def get_vertex(self): 16 """ 17 获取顶点数量 18 :return: 19 """ 20 return self.V 21 22 def get_edge(self): 23 """ 24 获取边的数量 25 :return: 26 """ 27 return self.E 28 29 def add_edge(self, v1, v2): 30 """ 31 向图中增加一条v1到v2的边 32 :param v1: 顶点 33 :param v2: 顶点 34 :return: 35 """ 36 if not self.data[v1][v2]: 37 self.data[v1][v2] = 1 38 self.data[v2][v1] = 1 39 self.E += 1 40 41 def has_edge(self, v1, v2): 42 """ 43 判断是否有v1到v2的边 44 :param v1: 顶点 45 :param v2: 顶点 46 :return: 47 """ 48 return self.data[v1][v2] == 1 49 50 def print(self): 51 """ 52 将图打印出来 53 :return: 54 """ 55 for i in self.data: 56 print(i)
2.邻接表表示法
用邻接矩阵表示也有一定缺点，因为图的邻接矩阵经常是稀疏的，即图中大部分元素表示的都是无边的值，为了降低图表示的空间代价，可以使用邻接表表示法。
所谓邻接表，就是为图中每个顶点关联一个表，其中记录的是这个顶点的所有邻接边。顶点是图中最基本的部分，通常有标识，也可以顺序编号，以便可以通过编号随机访问。
要用邻接表来表示图，这里可以继承前面的类 Graph，需要对初始化方法、增加边等方法进行修改，具体代码如下：
1 # 使用邻接表 2 class GraphAL(Graph): 3 def __init__(self, v): 4 super(GraphAL, self).__init__(v) 5 self.V = v 6 self.E = 0 7 self.data = [[] for _ in range(v)] 8 9 def add_edge(self, v1, v2): 10 """ 11 向图中增加一条v1到v2的边 12 :param v1: 顶点 13 :param v2: 顶点 14 :return: 15 """ 16 if v2 not in self.data[v1]: 17 self.data[v1].append(v2) 18 self.data[v2].append(v1) 19 self.E += 1 20 21 def has_edge(self, v1, v2): 22 """ 23 判断是否有v1到v2的边 24 :param v1: 顶点 25 :param v2: 顶点 26 :return: 27 """ 28 return v2 in self.data[v1]
三、图的遍历
1.深度优先搜索
按照深度优先搜索（Depth-First Search）的方法遍历整个图，假设从顶点 v 出发进行搜索，深度优先搜索的做法是：
- 访问顶点 v，并将其标记为已经访问过。
- 检查顶点 v 的邻接点，并从中取出一个尚未访问的顶点，从它出发继续进行深度优先搜索（递归），若不存在这种邻接点，则回溯。
- 反复进行上述操作直至从顶点 v 出发可以到达的顶点都已经访问过。
- 如果图中还存在尚未访问过的顶点，则从中选出一个顶点，重复进行上述过程，直至图中的所有顶点都已访问过。
2.广度优先搜索
按照广度优先搜索（Breadth-First Search）的方法遍历整个图，假设从顶点 v 出发进行搜索，广度优先搜索的做法是：
- 访问顶点 v，并将其标记为已经访问过。
- 依次访问顶点 v 的所有邻接点，再对每个邻接点的所有邻接点依次进行访问，直至所有的可到达的顶点都被访问过。
- 如果图中还存在尚未访问过的顶点，则从中选出一个顶点，重复进行上述过程，直至图中的所有顶点都已访问过。
3.深度优先搜索的实现
前面已经说过，深度优先搜索中包含了一个重复调用的过程，因而可以使用递归来实现深度优先搜索对图进行遍历。
在遍历的过程中，需要对已经访问过的顶点进行标记，所以定义了一个列表 visited，访问过的顶点就置为 True。除此之外，还要对访问的顶点进行记录，可以用一个列表来保存，定义为 path。具体代码如下：
1 def graph_dfs(graph: GraphAL, s: int): 2 """ 3 运用深度优先搜索对图进行遍历 4 :param graph: 图 5 :param s: 起点 6 :return: 7 """ 8 global visited, path, start 9 visited = [False] * graph.get_vertex() 10 path = [0] * graph.get_vertex() 11 start = s 12 dfs(graph, s) 13 14 15 def dfs(graph: GraphAL, v: int): 16 """ 17 深度优先搜索 18 :param graph: 图 19 :param v: 顶点 20 :return: 21 """ 22 visited[v] = True 23 for i in graph.get_adj(v): 24 if not visited[i]: 25 path[i] = v 26 dfs(graph, i)
4.广度优先搜索的实现
在使用广度优先搜索对图进行遍历的过程中，需要使用到队列，首先将起点入队，当队列非空时，重复执行以下过程：
- 从队列中随机取出一个顶点。
- 对该顶点的所有邻接点进行遍历，若没有访问过，则加入到路径列表 path 中并标记为访问过。
当队列为空时，表明搜索完成，结束遍历。具体代码如下：
1 def graph_bfs(graph: GraphAL, s: int): 2 """ 3 运用广度优先搜索对图进行遍历 4 :param graph: 图 5 :param s: 起点 6 :return: 7 """ 8 global visited, path, start 9 visited = [False] * graph.get_vertex() 10 path = [0] * graph.get_vertex() 11 start = s 12 bfs(graph, s) 13 14 15 def bfs(graph: GraphAL, v: int): 16 """ 17 广度优先搜索 18 :param graph: 图 19 :param v: 顶点 20 :return: 21 """ 22 visited[v] = True 23 q = Queue() 24 q.put(v) 25 while not q.empty(): 26 v = q.get() 27 for node in graph.get_adj(v): 28 if not visited[node]: 29 path[node] = v 30 visited[node] = True 31 q.put(node)
5.示例
创建一个无向图 G，如下：
使用邻接表来表示这个图，调用之前定义的图类 GraphAL，再将每条边依次添加进去，代码如下：
1 graph_test = GraphAL(10) 2 graph_test.add_edge(0, 1) 3 graph_test.add_edge(1, 2) 4 graph_test.add_edge(1, 6) 5 graph_test.add_edge(2, 3) 6 graph_test.add_edge(2, 7) 7 graph_test.add_edge(3, 4) 8 graph_test.add_edge(3, 8) 9 graph_test.add_edge(5, 6) 10 graph_test.add_edge(7, 8) 11 graph_test.add_edge(8, 9) 12 graph_test.print()
前面搜索过程结束之后，路径都保存在了列表 path 之中，若我们想要获取从起点到目标顶点的路径，就需要从 path 中进行获取，获取路径的方法的代码如下：
1 def get_path_to(v: int): 2 """ 3 获取从顶点start到顶点v的路径 4 :param v: 目标顶点 5 :return: 6 """ 7 x = path[v] 8 result = [v, x] 9 while x != start: 10 x = path[x] 11 result.append(x) 12 print(result[::-1])
最后就是分别使用深度优先搜索和广度优先搜索对图进行遍历，起点为顶点1，目标顶点为顶点8，最终分别使用 get_path_to() 获取路径，代码如下：
1 visited = [] 2 path = [] 3 start = None 4 graph_dfs(graph_test, 0) 5 get_path_to(7) 6 # [0, 1, 2, 3, 8, 7] 7 graph_bfs(graph_test, 0) 8 get_path_to(7) 9 # [0, 1, 2, 7]
