Little Victor and Set 题解

Little Victor and Set

题目大意#

在 $[l,r]$ 中选不超过 $k$ 个相异的数使得异或和最小，输出方案。

思路分析#

分类讨论：

• 当 $k=1$ 时：

显然选 $l$ 是最优的。

• 当 $r-l+1\le 10$ 时：

直接 $O(n{2}^n)$ 暴力枚举每个数选或不选即可。

（判了这个之后后面的很多讨论会简单很多。）

• 当 $k=2$ 时：

我们发现两个不同的数的异或和最小为 $1$，因为当且仅当两个数相同时异或和为 $0$。

所以我们可以在 $[l,r]$ 内任找一个偶数 $x$，那么方案就是 $x$ 和 $x+1$。

（因为 $r-l+1>10$ 所以一定能找到）

• 当 $k\ge 4$ 时：

容易发现对于任意 $k\in N$，均有 $4k\oplus (4k+1)\oplus (4k+2)\oplus (4k+3)=0$，所以我们只需要任取一个 $k$ 就行了。

（因为 $r-l+1>10$ 所以一定能找到）

• 当 $k=3$ 时：

首先，我们可以按照 $k=2$ 的方法得到异或和为 $1$ 的答案，我们只需要考虑是否存在异或和为 $0$ 的方案即可。

我们枚举 $i,j(i>j)$，构造 $A=2^i+2^j,B=2^i+2^j-1,C=2^{j+1}-1$，容易发现 $A\oplus B\oplus C=0,A>B>C$，考虑证明这样构造的合法性：

证明：

我们只需要证明如果存在异或和为 $0$ 的选法，一定存在一种选法满足以上的形式即可。

将 $A,B,C$ 的二进制形式列出：

$$\{\begin{array}{l}A=00...00100...00100...00\\ B=00...00100...00011...11\\ C=00...00000...00111...11\\ {}^{1}i{}^{2}j{}^3\end{array}$$

当 $A$ 固定时，$C$ 不可能更大，因为当 $C$ 增大时，$2$ 部分会多出若干 $1$，那么 $B$ 就必须也在 $2$ 部分增加若干 $1$，那么 $B$ 就大于 $A$ 了，不符合题设。

若 $A$ 的二进制表示中 $1$ 的个数大于 $2$，那么 $3$ 部分会多出若干 $1$，$B,C$ 中必要有一个在对应的位置去掉若干个 $1$ 来满足异或和为 $0$ 的条件，故要么 $B$ 变小要么 $C$ 变小，如果这时的 $A,C$ 在 $[l,r]$ 的范围内，那么之前的 $A,C$ 也一定在 $[l,r]$ 的范围内。

若 $A$ 的二进制表示中只有一个 $1$，那么不存在满足条件的 $B,C$。

代码#

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
const int N = 200200, V = 40;
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define int long long

int l, r, k;

vector <int> ans;

void add(int x){
    ans.push_back(x);
}

template <typename types, typename... Args> void add(types x, Args... args){
    add(x), add(args...);
}

signed main(){
    cin >> l >> r >> k;
    if (k == 1) add(l);
    else if (r - l + 1 <= 10) {
        int len = r - l + 1, minans = inf, way = 0;
        for (int i = 1; i < (1ll << len); i ++) {
            int ans = 0, cnt = 0;
            for (int j = 0; j < len; j ++)
                if (i >> j & 1) {
                    ans ^= (l + j);
                    cnt ++;
                }
            if (cnt <= k && ans < minans) {
                minans = ans;
                way = i;
            }
        }
        for (int i = 0; i < len; i ++)
            if (way >> i & 1) add(l + i);
    }
    else if (k == 2) {
        if (l & 1) l ++;
        add(l, l + 1); 
    }
    else if (k == 3) {
        int flag = 0;
        for (int i = 0; i <= V && !flag; i ++) 
            for (int j = i + 1; j <= V; j ++) {
                int x = (1ll << i) | (1ll << j), y = x - 1, z = (x ^ y);
                if (x <= r && z >= l) {add(x, y, z); flag = 1; break;}
            }
        if (!flag) {
            if (l & 1) l ++;
            add(l, l + 1); 
        }
    }
    else if (k >= 4) {
        for (int i = l; i <= l + 4; i ++)
            if (i % 4 == 0) {
                add(i, i + 1, i + 2, i + 3); break;
            }
    }
    int res = 0;
    for (auto it : ans) res ^= it;
    cout << res << '\n';
    cout << ans.size() << '\n';
    for (auto it : ans) cout << it << ' ';
    return 0;
}