Visible Lattice Points 题解

Visible Lattice Points

题目大意#

给定一个 $N\times N\times N$ 的由若干点组成的立方体，点的坐标从 $(0,0,0)$ 到 $(N,N,N)$，求从点 $(0,0,0)$ 处可以看见多少个点。

思路分析#

我们将立方体上的点分成三类：

• 在 $xy,yz,xz$ 平面上的点。
• 在 $x,y,z$ 轴上的点。
• 即不在平面，也不在坐标轴上的点。

就可以简单得出我们需要求的式子：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n[gcd(i,j,k)=1]+3\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1]+3$$

然后就可以开始愉快的颓柿子了：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n[gcd(i,j,k)=1]\\ & =\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n[d|i][d|j][d|k]\\ & =\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}{\rfloor }^3\end{array}$$

类似的，

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1]\\ & =\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[d|i][d|j]\\ & =\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}{\rfloor }^2\end{array}$$

因此，我们的答案就是：

$$3+\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}{\rfloor }^2(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor +3)$$

只需要线性筛出 $\mu$ 的前缀和，再通过整除分块就可以在 $O(\sqrt{n})$ 的时间复杂度内得出结果。

代码：#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1111111,L=1000000;
#define int long long\\好习惯

int T,n,ans,cnt;
int v[N],prime[N],mu[N];

void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=L;i++){
        if(!v[i]){prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=L;j++){
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=L;i++) mu[i]+=mu[i-1];\\计算前缀和
}

signed main(){
    sieve();
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){//简单的整除分块
            r=n/(n/l);
            ans+=(mu[r]-mu[l-1])*((n/l)*(n/l)*(3+(n/l)));\\根据式子计算结果
        }ans+=3;
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}