Interesting Array 题解

Interesting Array

题目大意

构造一个序列 $a$，使其满足若干限制条件，每个限制条件是形如 l r q 的式子，其意义是：${\mathrm{\&}}_{i=l}^r{a}_i=q$。

题意分析

看上去是构造题，实际上是数据结构题。

我们不妨先令初始时 $a$ 为一个全 $0$ 序列，再逐一看每个限制条件。

为了满足某一个限制条件 $l,r,p$，$[l,r]$ 区间的数必须符合以下两点：

• $1$，在二进制表示中，$p$ 为 $1$ 的位置均为 $1$。
• $2$，在二进制表示中，$p$ 为 $0$ 的位置区间内至少有一个数该位为 $0$。

我们发现，同时构造出满足两个条件的序列比较麻烦，且不好判断无解，因此，我们可以让一个条件成为构造的依据，另一个条件成为判断的依据。

具体的说，我们只需要构造出满足其中一个条件的序列，再逐一判断每个区间是否满足另一个条件即可。

因此，我们不妨先构造一个满足条件 $1$ 的序列，再逐一对条件 $2$ 进行判断。

那么，现在问题就变成了如果构造一个满足条件 $1$ 的序列和如何对条件 $2$ 进行判断。

这其实很简单，我们只需要用线段树进行区间按位或和区间求按位与就行了。

这是因为为了满足条件 $1$，我们需要让区间的二进制表示包含 $p$，这等价于于区间按位或 $p$，而条件 $2$ 与区间的按位与是 $p$ 二者也等价。

综上，我们只需要维护一颗线段树，支持区间或和区间求与即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100100;

int n,m,inp[N][3];

struct STn{int l,r,t,sum;};//sum表示区间与的结果，t是懒标记
struct ST{
    STn a[N<<2];
    void or_t(int p,int k){
        a[p].t|=k;a[p].sum|=k;//都或上k
    }
    void push_down(int p){//下放懒标记
        if(a[p].t){
            or_t(p<<1,a[p].t);
            or_t(p<<1|1,a[p].t);
            a[p].t=0;
        }
    }
    void build(int p,int l,int r){//简单建树
        a[p].l=l;a[p].r=r;a[p].t=0;
        if(a[p].l==a[p].r) return ;
        int mid=(a[p].l+a[p].r)>>1;
        build(p<<1,l,mid);
        build(p<<1|1,mid+1,r);
    }
    void or_all(int p,int l,int r,int k){//区间或
        if(l<=a[p].l&&a[p].r<=r){or_t(p,k);return ;}
        push_down(p);int mid=(a[p].l+a[p].r)>>1;
        if(l<=mid) or_all(p<<1,l,r,k);
        if(r>mid) or_all(p<<1|1,l,r,k);
        a[p].sum=a[p<<1].sum&a[p<<1|1].sum;
    }
    int and_all(int p,int l,int r){//区间求与
        if(l<=a[p].l&&a[p].r<=r) return a[p].sum;
        push_down(p);int mid=(a[p].l+a[p].r)>>1;
        if(r<=mid) return and_all(p<<1,l,r);
        if(l>mid) return and_all(p<<1|1,l,r);
        return and_all(p<<1,l,r)&and_all(p<<1|1,l,r);
    }
    void print(int p){//输出序列
        if(a[p].l==a[p].r){cout<<a[p].sum<<' ';return ;}
        push_down(p);int mid=(a[p].l+a[p].r)>>1;
        print(p<<1);print(p<<1|1);
    }
}tree;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    tree.build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&inp[i][0],&inp[i][1],&inp[i][2]);
        tree.or_all(1,inp[i][0],inp[i][1],inp[i][2]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(tree.and_all(1,inp[i][0],inp[i][1])!=inp[i][2]){cout<<"NO\n";return 0;} 
    cout<<"YES\n";
    tree.print(1);
    return 0;
}