[ABC207E] Mod i 题解

Mod i

题目大意#

给定一个序列 $a$，问将其划分成若干段，满足第 $i$ 段的和是 $i$ 的倍数的划分方案的个数。

思路分析#

考虑 DP，设 $f_{i,j}$ 表示将序列中前 $i$ 个数划分成 $j$ 段，且满足条件的划分方案的个数，容易得出状态转移方程：

$$f_{i,j}=\sum f_{k,j-1}(\sum _{h=k+1}^i{a}_{i}modj=0)$$

直接转移的复杂度是 $O(n^3)$ 的，无法接受，考虑优化。

设 $s_i$ 为 $a$ 的前 $i$ 项和，那么约束条件等价于 $(s_i-s_k)modj=0$，当条件成立时有 $s_i\equiv s_k(\mathrm{mod}j)$。

可以设 $g_{i,j}=\sum f_{k,i}(s_{k}mod(i+1)=j)$，那么容易发现

$$g_{j-1,s_{i}modj}=\sum f_{k,j-1}(s_{k}modj=s_{i}modj)=f_{i,j}$$

这样转移就优化到了 $O(n^2)$，这是因为 $g$ 可以在转移时累加，即

$$g_{j,s_{i}mod(j+1)}=\sum f_{k,j}(s_{k}mod(j+1)=s_{i}mod(j+1))$$

其中包含 $f_{i,j}$。

代码#

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int N=3200,mod=1000000007;
#define int long long

int f[N][N],g[N][N];
int sum[N],a[N];
int ans,n;

signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    f[0][0]=g[0][0]=1;//初始条件
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=n;j>=1;j--){
            f[i][j]=g[j-1][sum[i]%j];
            g[j][sum[i]%(j+1)]=(g[j][sum[i]%(j+1)]+f[i][j])%mod;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[n][i])%mod;//累加答案
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}