[ABC208E] Digit Products 题解

Digit Products

题目大意#

求有多少个不大于 $n$ 的正整数，使得该正整数各位乘积不大于 $k$。

思路分析#

观察数据范围，首先考虑数位 DP。

考虑设计记忆化搜索函数 dfs(int pos,bool limit,bool lead0,int mul) 表示当前枚举到第 $\text{pos}$ 位，第 $\text{pos}$ 位是否受到限制，是否存在前导零，当前乘积为 $\text{mul}$ 时的满足条件的数的个数。同时设 $f_{\text{pos},\text{mul}}$ 表示在没有前导零，没有限制的条件下的记忆化数组。

然后分类讨论一下：

设当前枚举的数为 $i$。

• 当存在前导零，且 $i=0$ 时，$\text{mul}$ 不变。

• 当存在前导零，且 $i\ne 0$ 时，$\text{mul}=i$。

• 当不存在前导零时，$\text{mul}=\text{mul}\times i$。

然后套板子就可以了。

注意乘积的值域可能很大，但状态不会很多，因此 $f$ 可以用 map 储存。

代码#

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <map>

using namespace std;
const int N=20;
#define int long long

int n,k;
int a[N];

map<int,int> f[N];//使用 map 储存 f

int dfs(int pos,bool limit,bool lead0,int mul){
    if(!pos) return mul<=k;//边界条件
    if(!limit&&!lead0&&f[pos].count(mul)) 
        return f[pos][mul];//记忆化
    int up=limit?a[pos]:9,res=0;//上届
    for(int i=0;i<=up;i++){
        int tmp;
        if(lead0&&i==0) tmp=mul;
        else if(lead0&&i!=0) tmp=i;
        else tmp=mul*i;//分类讨论
        res+=dfs(pos-1,limit&&i==up,lead0&&i==0,tmp);//直接累加
    }
    if(!limit&&!lead0) f[pos][mul]=res;
    return res;
}

int solve(int x){
    int len=0;
    while(x){//拆分数位
        a[++len]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(len,1,1,0);
}

signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    cout<<solve(n)-1<<'\n';//注意 0 会被计算在内，需减去
    return 0;
}