2021杭电多校10 D.Pty hates prime numbers题解

前言

暑期第三次组队赛是选的21年杭电多校10，遗憾爆0，被对面队打爆，赛后狠狠补题。这道题的题解，以及网上搜到的其他题解看了好久没看懂，在问了队里大腿多次后，总算磨出来了，这里讲一下我的理解。

题意

多次询问，每次给定 $n$ 和 $k$ ，如果一个数的质因数里包括前 $k$ 个质数，则这个数是讨厌的，问 $1$ 到 $n$ 中有多少个数是不讨厌的。
数据范围 $1 \leq n \leq 10^{18}, 1 \leq k \leq 16$

思路

首先直接 $2^{k}$ 的枚举质因数，然后容斥，这个是简单的。具体来说就是直接dfs 爆搜，枚举每个质因数选或者不选，选的话就乘上这个数，最终得到一个 $x$ 以及容斥系数 $f$ ，容斥系数根据选的质因数的奇偶性，决定是 $1$ 或者 $- 1$ 。然后将答案加上 $1 - n$ 中是 $x$ 的倍数的个数乘 $f$ 。

通过这个容斥，我们能得到的是 1 - n 中不是前k个质数倍数的个数，这句话，以及题解里面也是类似的描述，有一点歧义的地方。不是前k个质数的倍数，意思是质因数不包含前 k 个质数。而不是，不是前k个质数的乘积的倍数(因为题解里面多次强调了前8个质数的乘积9699690，就容易误解不是前8个质数倍数，指不是9699690倍数)。

然后因为 $k$ 的数据范围是16，所以直接这样 $2^{k}$ 容斥枚举是T的，因为多测次数很多。所以正解的思路是，先对前8个质数进行容斥枚举，预处理出一个数组 $s u m [i]$ 表示 $1$ 到 $i$ 中，质因数不包含前8个质数的数字个数。然后只对第 $8$ 到第 $k$ 个质数进行枚举容斥。

就是这个什么叫只对后面几个数进行容斥，把我控了很久，因为普通的容斥，肯定是考虑前面和后面，总的选的数的个数，决定正负啥的。

然后我是这样去理解:
对一些位去容斥，最终目的是为了求出，1 - n 中不包含这些质因数的数字个数。然后我们对 9 到 k位去容斥，所以保证了这些数一定不包含9 到 k个质因数，然后我们只需要再保证这些数不包含前8个质因数，那这些数就是符合题意的。换言之，就是在容斥后几位的同时，保证能忽略掉前8位的影响。

然后具体的，由于容斥过程中，我们枚举了哪些质因数得到乘积 $x$ 之后，我们要求的反而是 $1 - n$ 中是 $x$ 的倍数的个数。

因为是对后几个质因数容斥，所以我们要求的是 $1 - n$ 中是枚举到的后几个质因数的倍数的个数，因为忽略了前8位，所以我们还得保证求出来的这些数不能有前 8个质因数。也就是，通过容斥计算 $1 - n$ 不含后几位质因数的数量，在整个容斥过程中，还保证了全程枚举到的数不包含前 $8$ 个质因数，所以最终算出来的就是前 $k$ 个质因数都不包含的总数。

在后几位的容斥过程中，假如枚举到的乘积是 $x$ ，问题转化为求 $1 - n$ 中是 $x$ 的倍数，并且不包含前 $8$ 个质因数的数字个数。
由于是 $x$ 倍数，所以这些数 $x, 2 x, 3 x \dots$ 一定能表示成 $k x (1 \leq k \leq ⌊ \frac{n}{k} ⌋)$ ，因为 $x$ 是后几个质因数倍数，所以肯定不含前 $8$ 个质因子。所以我们相当于，求 $1 - \frac{n}{k}$ 中，有多少个数不含前 $8$ 个质因数，这个问题等价于求 $n_{1} = \frac{n}{k}, k_{1} = 8$ 的子问题了。所以可以预处理 $k = 8$ 的所有答案。

然后由于 $n$ 很大，没办法预处理 $n = 1 - 10^{18}, k = 8$ 的所有答案，这时候还需要发现一个性质。由于前8个质因数的乘积，或者说是最小公倍数是9699690, 假设有一个比较大的 $n$ ，画在数轴上，把有前 $8$ 个质因数的点 $i$ 标1，那么显然这些数的 $l c m$ 就是一个循环节，所以这个很大的 $n$ 的答案等于拥有这些循环节的个数乘上一个循环节的答案，加上多出来那一截 $n \mod l c m$ 对应的答案。(从这个循环节和数轴的角度，感觉比较好理解题解里面那个为什么要取余 lcm)