莫队算法学习笔记

从我的$Luogu$博客上搬运过来的$QwQ$，很久以前写的了，趁着这次考试考到了复习一下

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莫队分为三种：普通莫队，树形莫队，带修改莫队。

【例 1】小Z的袜子 题目传送门

题目大意：进行区间询问$[l,r]$，输出在该区间内随机抽两次抽到相同颜色袜子的概率。

分析：首先考虑对于一个长度为$n$的区间内的答案如何求解。题目要求答案用最简分数表示：那么分母就是$n*(n-1)($表示两两袜子之间的随机组合$)$，分子是将该区间内每种颜色$i$出现次数的平方的累加求出的和。

莫队思路：离线情况下对所有的询问进行一个$sort$排序，然后两个指针$l,r$不断以“暴力”的方式在区间内跳来跳去$($所以到底应该怎么跳嘞？这不是相当于没讲吗？ $)$，最终输出答案。

思想基础：$($关于如何“跳来跳去”$)$

$<1>$两个询问之间的状态跳转。假设当前完成询问的区间为$[a,b]$，下一个询问的区间为$[p,q]$，现在保存$[a,b]$区间内的每个颜色出现次数$sum$和答案$ans$，通过移动指针来转移答案。

$<2>$考虑指针向左或向右移动一个单位，我们要付出多大的代价才能维护$sum$和$ans($即让$sum$和$ans$保存的是当前$[l,r]$的正确信息，我终于知道维护的真实含义了$)$。

$<3>$假设指针移动一个单位后多出来$(or$减少$)$的袜子颜色为$a$，那么就更改$sum[a](++or- -)$，同时维护$ans$的值，分母由$n^2$变为$(n-1)^2\ or\ (n+1)^2$，分子要减去原来答案的贡献$($即原$sum[a]^2)$，再加上现在的答案贡献$($即现$sum[a]^2)$。

优化：由于以上方法最坏情况时间复杂度为$O(n^2)$，所以要用排序优化一下。

分块！用$pos$数组存储每个$l$在哪一块。对询问进行排序，如果$pos[l]$相同，那么就以$r$为关键字排序；否则以$l$为关键字排序。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50003;
struct Modui{//开一个结构体存储每个询问
    int l,r,id;
    long long A,B;
}q[N];
long long gcd(long long a,long long b){//求最大公约数，用于约分
    long long mid=b;//蒟蒻的我只会用辗转相除法QAQ
    b=a%b;
    if(b==0) return mid;
    else return gcd(mid,b);
}
int n,m,color[N],t,pos[N];
long long sum[N],ans;//ans存储当前区间抽中两只同色袜子的方案总数
bool cmp1(Modui a,Modui b){
    return pos[a.l]==pos[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;//排序，判断关键字
}
bool cmp2(Modui a,Modui b){//输出前按输入的顺序排序
    return a.id<b.id;
}
void change(int x,int add){//转移答案
    ans-=sum[color[x]]*(sum[color[x]]-1);
    sum[color[x]]+=add;
    ans+=sum[color[x]]*(sum[color[x]]-1);
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    t=sqrt(n);//t存储分块的数量
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&color[i]),pos[i]=i/t+1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+m+1,cmp1);
    int l=1,r=0;//l，r两个指针存储当前的位置
    for(int i=1;i<=m;i++){
        while(l<q[i].l) change(l,-1),l++;
        while(l>q[i].l) change(l-1,1),l--;
        while(r<q[i].r) change(r+1,1),r++;
        while(r>q[i].r) change(r,-1),r--;//把指针移动到当前询问的区间
        if(q[i].l==q[i].r) {q[i].A=0;q[i].B=1;continue;}
        //只有一只袜子的情况要特判
        q[i].A=ans;//A代表分子，等于方案总数
        q[i].B=1LL*(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
        //B代表分母，等于区间内所有袜子组合的方案总数
        long long GCD=gcd(q[i].A,q[i].B);
        q[i].A/=GCD;q[i].B/=GCD;//约分
    }
    sort(q+1,q+m+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=m;i++)//排序后按序输出
        printf("%lld/%lld\n",q[i].A,q[i].B);
    return 0;
}