Luogu P3226 集合选数 题解报告

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【题目大意】

给定一个数$n$，从集合$\{1,2,…,n\}$中选数，求满足“如果$x$选了，就不能选$2x$和$3x$”的子集个数(包括空集)

【思路分析】

我觉得这题挺妙的，要转化为在矩阵中选数，类似这样的矩阵$\downarrow$

$$\begin{matrix}x&2x&4x&\cdots\\3x&6x&12x&\cdots\\9x&18x&36x&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots\end{matrix}$$

然后你发现要满足题目要求就是在矩阵内不能选相邻的数(不能上下相邻也不能左右相邻)，于是我们就可以愉快地用状压DP求答案啦！

要注意的就是为了保证不漏答案，我们要把$[1,n]$内每一个既不是2的倍数也不是3的倍数的数作为$x$构造矩阵，然后跑一遍状压DP求答案，这样才能涵盖所有的数，最后根据乘法原理就可以求出整道题目的答案了。

详见代码(有注解)

【代码实现】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define g() getchar()
#define rg register
#define ll long long
#define go(i,a,b) for(rg ll i=a;i<=b;i++)
#define back(i,a,b) for(rg ll i=a;i>=b;i--)
#define db double
#define il inline
#define pf printf
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
ll fr(){
    ll w=0,q=1;
    char ch=g();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') q=-1;
        ch=g();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=g();
    return w*q;
}
const ll mod=1000000001;
const int maxn=(1<<18)+1;
const int N=100002;
ll n,a[20][20],end,lie[20],mx[20],f[20][maxn];
//f[i][j]表示枚举到当前矩阵第i列状态为j的方案数
bool ok[maxn];
ll ans=1,as;
il void build(rg ll x){
    go(i,1,11){
        if(i==1) a[i][1]=x;
        else a[i][1]=a[i-1][1]*3;
        if(a[i][1]>n) break;
        end=i,lie[i]=1;//lie[i]记录第i行有多少列
        go(j,2,18){
            a[i][j]=a[i][j-1]<<1;
            if(a[i][j]>n) break;
            lie[i]=j;
        }
        mx[i]=(1<<lie[i])-1;//mx[i]记录第i行所有状态压缩后的最大值
    }
    return;
}
il void work(rg ll x){
    as=0;
    go(i,0,mx[1]) f[1][i]=ok[i];
    go(i,2,end) go(j,0,mx[i]){
        if(!ok[j]) continue;//如果这个状态不合法就跳过
        f[i][j]=0;//这里要手动赋初始值,用memset会T
        go(k,0,mx[i-1])
            if(ok[k]&&((k&j)==0)) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mod;
//如果上一行的状态合法且与这一行没有选同一列的数,那么就是合法的,加入答案
    }
    go(i,0,mx[end]) if(ok[i]) as=(as+f[end][i])%mod;
}
int main(){
    //freopen("","r",stdin);
    //freopen("","w",stdout);
    n=fr();
    go(i,0,maxn-1) ok[i]=((i<<1)&i)?0:1;
    //预处理出单个一行每种状态是否满足条件
    go(i,1,n)
        if(i%2&&i%3) build(i),work(i),ans=ans*as%mod;
    //如果这个数既不是2的倍数也不是3的倍数,那就要造矩阵求答案
    pf("%lld\n",ans);
    return 0;
}