CH135 最大子序和 题解报告

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【题目大意】

输入一个长度为$n$的整数序列，从中找出一段长度不超过$m$的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。

【思路分析】

 计算“区间和”的问题，一般转化为“两个前缀和相减”的形式进行求解，即问题转化为求$s[x]-s[y]$最大且$x-y\le m$。

首先我们枚举区间的右端点$i$，当$i$固定时，问题就变成：找到一个左端点$j$，其中$j\in[i-m,i-1]$且$s[j]$最小。

那么对于任意两个位置$j$和$k$，如果$k<j<i$并且$s[k]\ge s[j]$，那么对于所有大于等于$i$的右端点，$k$永远不会成为最优选择。由此我们可以知道，可能成为最优选择的策略集合一定是一个“下标位置递增，对应的前缀和也递增”的序列，于是很容易就可以想到队列。

随着右端点$i$的枚举，我们对每个$i$进行如下操作：

1.判断队头决策与$i$的距离是否超过$m$，若是则出队

2.此时队头就是右端点为$i$时，左端点$j$的最优选择

3.不断删除队尾决策，直到队尾对应的$s$值小于$s[i]$，然后把$i$作为一个新的左端点的待选值入队

【代码实现】

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define g() getchar()
#define rg register
#define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
#define back(i,a,b) for(rg int i=a;i>=b;i--)
#define db double
#define ll long long
#define il inline
#define pf printf
using namespace std;
int fr(){
    int w=0,q=1;
    char ch=g();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') q=-1;
        ch=g();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=g();
    return w*q;
}
const int N=300002;
int n,m,a[N],s[N],q[N],ans;
int main(){
    //freopen("","r",stdin);
    //freopen("","w",stdout);
    n=fr();m=fr();
    go(i,1,n) a[i]=fr(),s[i]=s[i-1]+a[i];
    rg int l=1,r=1;
    q[1]=a[1];
    go(i,1,n){
        while(l<=r&&q[l]<i-m) l++;
        //判断队头决策的位置与当前右端点的距离是否超过m,若是则出队
        ans=max(ans,s[i]-s[q[l]]);//更新答案
        while(l<=r&&s[q[r]]>=s[i]) r--;
        q[++r]=i;//将i入队
    }
    pf("%d\n",ans);
    return 0;
}