CH109 Genius ACM 题解报告

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【题目大意】

【思路分析】

首先显然可知，当一段区间内选出的$M$对数分别是，最大和最小一对，次大和次小一对，……，第$M$大和第$M$小一对，此时的“校验值”最大，如果这段区间的最大“校验值”满足条件了，那么这个区间就是合法的。我们考虑将数列$A$从头开始分段，在满足每段区间合法的情况下让区间尽量包含更多的数，到达结尾时整个数组分成的段数就是答案。

于是我们要解决的问题就是，当确定一个区间的左端点$L$后，右端点$R$在满足$A[L]～A[R]$的“校验值”不超过$T$的情况下，最大能取到多少。

求长度为$N$的一段区间的“校验值”需要排序配对，时间复杂度为$O(N*log_2N)$。当“校验值”上限$T$比较小时，如果在整个$L～N$的区间上二分右端点$R$，二分的第一步就要检验$(N-L)/2$这么长的一段，最终右端点$R$却可能只扩展了一点，浪费了很多时间，于是我们考虑使用倍增算法。

倍增过程如下：

1.初始化：$p=1,R=L$

2.求出$[L,R+p]$这一段区间的“校验值”，若$\le T$，则$R+=p,p*=2$，否则$p/=2$

3.重复上一步，直到$p$的值变为0，此时$R$即为所求

【代码实现】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rg register
#define ll long long
#define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=500002;
int K,n,m,a[N],b[N],c[N];
ll t;
bool check(int l,int mid,int r){
    go(i,mid,r) b[i]=a[i];
    sort(b+mid,b+r+1);
    int i=l,j=mid;
    go(k,l,r)
        if((i<=mid-1&&b[i]<b[j])||j>r) c[k]=b[i++];
        else c[k]=b[j++];
    i=l,j=r;int num=min(m,(r-l+1)/2);ll sum=0;
    while(num--)
        sum+=(ll)(c[i]-c[j])*(c[i]-c[j]),i++,j--;
    if(sum<=t){
        go(i,l,r) b[i]=c[i];
        return 1;
    }
    return 0;
}
int main(){
    scanf("%d",&K);
    while(K--){
        scanf("%d%d%lld",&n,&m,&t);
        go(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
        int l=1,r=1,p=1,ans=0;b[1]=a[1];
        while(l<=n){
            if(r+p<=n&&check(l,r+1,r+p)) r+=p,p*=2;
            else p/=2;
            if(!p||r==n) ans++,l=++r,p=1,b[l]=a[l];
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}