poj3585 Accumulation Degree 题解报告
【题目大意】
一个树形水系，有$n$个结点，根结点称为源点，叶子结点称为汇点，每条边都有水量限制$C_{x,y}$($x,y$为这条边的两个端点)，源点单位时间流出的水量称为整个水系的流量，求以哪一个结点作为源点整个水系的流量最大。
【思路分析】
这是一道“不定根”的树形DP问题，这类题目的特点是，给定一个树形结构，需要以每个结点为根进行一系列统计。我们一般通过两次扫描来求解此类问题：
1.第一次扫描，任选一个点为根，在“有根树”上执行一次树形DP。
2.第二次扫描，从刚才选出的根出发，对整棵树执行一次DFS，在每次递归前进行自上而下的推导，计算出“换根”之后的解。
首先，我们任选一个结点$root$，然后树形DP一下，求出$D_{root}$数组($D[i]$表示在以$i$为根的子树中流量的最大值)。然后设$f[x]$表示以x为源点，流向整个水系的最大流量，则显然$f[root]=D[root]$。假设$f[x]$已经求出，考虑其子结点$y$，则$f[y]$包含两部分：
1.从$y$流向以$y$为根的子树的流量，已经计算出来。
2.从$y$沿着到父节点$x$的河道，进而流向水系中其他部分的流量。
由题意可得，从$x$流向$y$的流量为$min(D[y],c[x][y])$，所以从$x$流向除$y$以外其他部分的流量就是二者之差$f[x]-min(D[y],c[x][y])$。于是，把$y$作为源点，先流到$x$，再流向其他部分的流量就是把这个“差”再与$c[x][y]$取较小值后的结果。
$$if(du[x]>1)\to f[y]=D[y]+min(f[x]-min(D[y],c[x][y])-c[x][y])$$
$$if(du[x]==1)\to f[y]=D[y]+c[x][y]$$
这是一个由上而下的递推方程，我们通过一次DFS即可实现。
【代码实现】
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<vector> 4 #include<cstring> 5 #define rg register 6 #define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++) 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 8 using namespace std; 9 const int N=2e5+2; 10 int T,n,du[N]; 11 struct node{int to,w;}; 12 vector<node> c[N]; 13 bool v[N]; 14 int d[N],f[N]; 15 void clean(){ 16 mem(v,0);mem(du,0);mem(d,0);mem(f,0); 17 go(i,1,n) c[i].clear(); 18 } 19 void dp(int x){ 20 v[x]=1; 21 int size=c[x].size()-1; 22 go(i,0,size){ 23 int to=c[x][i].to,w=c[x][i].w; 24 if(v[to]) continue; 25 dp(to); 26 if(du[to]==1) d[x]+=w; 27 else d[x]+=min(d[to],w); 28 } 29 return; 30 } 31 void dfs(int x){ 32 v[x]=1; 33 int size=c[x].size()-1; 34 go(i,0,size){ 35 int to=c[x][i].to,w=c[x][i].w; 36 if(v[to]) continue; 37 if(du[x]==1) f[to]=d[to]+w; 38 else f[to]=d[to]+min(f[x]-min(d[to],w),w); 39 dfs(to); 40 } 41 return; 42 } 43 int main(){ 44 scanf("%d",&T); 45 while(T--){ 46 scanf("%d",&n);clean(); 47 int x,y,z; 48 go(i,1,n-1){ 49 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 50 c[x].push_back((node){y,z});c[y].push_back((node){x,z}); 51 du[x]++;du[y]++; 52 } 53 dp(1); 54 f[1]=d[1];mem(v,0); 55 dfs(1); 56 int ans=0; 57 go(i,1,n) ans=max(ans,f[i]); 58 printf("%d\n",ans); 59 } 60 return 0; 61 }
