LCA学习笔记
目录
题目完成度
LCA指的是最近公共祖先。具体地，给定一棵有根树，若结点z既是结点x的祖先，又是结点y的祖先，则称z是x,y的公共祖先。在x,y的公共祖先中，深度最大的一个结点称为x,y的最近公共祖先，记为LCA(x,y)
暴力法，顾名思义，非常暴力，这里简单介绍一下
先DFS一遍找出每个点的深度，然后先从深度大的往上跳，跳到x,y两个点深度相同。
如果发现此时x和y是同一个结点，那么原本深度小的那个结点就是两个点的最近公共祖先。
如果不是同一个点，那么就两个点一起同时往上跳，直到发现两个点相同，则此时到达的这个结点为x,y两点的最近公共祖先。
484很简单？QWQ
那我等下放个代码，就酱紫吧
int LCA(int x,int y){ if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//默认x深度大于y while(dep[x]>dep[y]) x=fa[x];//x每次变成自己的父结点，即往上跳一步 if(x==y) return y; //如果此时两个结点相同，那么原本深度较小的结点就是LCA while(x!=y) x=fa[x],y=fa[y];//两个点同时一步步往上跳 return x;//此时两个节点相同，都是LCA }
其实还有一种暴力的方法
就是先让其中一个点一路跳到根结点，标记经过的结点，然后另一个点也往上跳，遇到的第一个标记了的结点就是LCA
同样放下代码
int LCA(int x,int y){ while(x!=root){//root为根结点 x=fa[x]; visit[x]=1;//标记 } while(!visit[y])//如果遇到被标记了的就找到了LCA y=fa[y]; return y; }
这是一个非常重要的算法啦！一定要记住QAQ
我来讲一讲啦
【预处理】
设f[x][k]表示x结点的2k辈祖先，即从x向根结点走2k步到达的结点
如果该结点不存在，则令f[x][k]=0，f[x][0]就是x的父亲结点
因为2k=2k-1+2k-1，所以对于1≤k≤logn，有f[x][k]=f[f[x][k-1]][k-1]
预处理部分的时间复杂度为O(nlongn)
void ready(int x,int father){ dep[x]=dep[father]+1;//计算深度 go(i,0,19)//预处理f数组 f[x][i+1]=f[f[x][i]][i]; for(int i=head[x];i;i=next[i]){ int y=to[i];//用链式前向星存边 if(y==father) continue; f[y][0]=x; ready(y,x); } }
【查找LCA】
预处理过后可以对多个x,y查找LCA，每次的时间复杂度均为O(nlogn)
具体操作如下：
1.假设dep[x]≥dep[y]，如果不成立可以交换
2.用二进制拆分思想把x上调到与y同一深度
其实就是依次尝试让x向上跳k=2logn...21,20步，若到达的结点比y深，则令x=f[x][k]
3.和上面说的一样，若此时x与y相等，则y就是LCA
4.若此时x≠y，那么x和y同时往上跳，同样用二进制拆分思想，把x和y同时向上跳，并保持深度一致且不相会
与上面调整x时一样，让x和y尝试向上走k=2logn...21,20步，若f[x][k]≠f[y][k](即两点不相会)，则令x=f[x][k]，y=f[y][k]
5.结束时x和y必然只差一步就相会了，所以他们的父节点f[x][0]就是LCA啦！QWQ
int LCA(int x,int y){ if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); back(i,20,0){ if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i]; //只要x的深度没有比y小就可以继续跳 if(x==y) return x; } back(i,20,0){ if(f[x][i]!=f[y][i])//跳的过程中要保证两点不相会 x=f[x][i],y=f[y][i]; } return f[x][0]; }
最后再放一个完整版代码吧QWQ
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++) 3 #define back(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--) 4 using namespace std; 5 const int N=100002; 6 int n,m; 7 int dep[N],head[N]; 8 int f[N][20]; 9 int next[N*2],to[N*2],num=0; 10 int last=0; 11 int fr(){ 12 int w=0,q=1; 13 char ch=getchar(); 14 while(ch<'0'||ch>'9'){ 15 if(ch=='-') q=-1; 16 ch=getchar(); 17 } 18 while(ch<='9'&&ch>='0') 19 w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar(); 20 return w*q; 21 } 22 void ready(int x,int father){ 23 dep[x]=dep[father]+1; 24 go(i,0,18) 25 f[x][i+1]=f[f[x][i]][i]; 26 for(int i=head[x];i;i=next[i]){ 27 int y=to[i]; 28 if(y==father) continue; 29 f[y][0]=x; 30 ready(y,x); 31 } 32 } 33 int LCA(int x,int y){ 34 if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 35 back(i,19,0){ 36 if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i]; 37 if(x==y) return x; 38 } 39 back(i,19,0){ 40 if(f[x][i]!=f[y][i]) 41 x=f[x][i],y=f[y][i]; 42 } 43 return f[x][0]; 44 } 45 int main(){ 46 n=fr(); 47 int root,father; 48 go(i,1,n){ 49 father=fr(); 50 if(father==0) root=i; 51 next[++num]=head[father]; 52 to[num]=i; 53 head[father]=num; 54 next[++num]=head[i]; 55 to[num]=father; 56 head[i]=num; 57 } 58 ready(root,0); 59 m=fr(); 60 while(m--){ 61 int x=fr(),y=fr(); 62 last=LCA(x,y); 63 printf("%d\n",last); 64 } 65 return 0; 66 }
咕咕咕咕咕
咕咕咕咕
