洛谷P1463 反素数（）
P1463 [POI2001][HAOI2007] 反素数
100%数据时，N<=2e9，即使使用线性的欧拉筛也会TLE
如此大的数据范围，O（1）的时间复杂度都跑不过，
说明要么打表，要么就需要通过计算直接得出答案，而非一个一个数地判断
通过分析，这道题的要求是找出小于等于N的数中
约数个数最多，并且最小的数，称为“反素数”
每一个数都可以表示成几个素数（可能相同）的乘积
比如6=2*3 12=2*2*3
即一个数n=a1^b1*a2^b2*……*an^bn
( a1<a2<……<an && b1>=b2>=……>=bn )
而这个数的约数个数为几个素数指数各加一的乘积
证明很简单
每个素数指数从0到最大作为其某个约数的约数
每个素数可以有指数加一种选择方式
因此这个数约数个数即为
（b1+1）*(b2+1)*……*(bn+1)
其中an不超过31，
因为题目要求约数最多且最小
即MAX（b1+1）*(b2+1)*……*(bn+1)
MIN=a1^b1*a2^b2*……*an^bn
所以素数不可能放着更小的让它指数为0，去让更大的指数升高，这样一定不是我们要的最优解，pass
所以即使所有素数指数都为1
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 ＞ 2 * 10^9
即an一定小于31
而b1+b2+……+bn<=30
原因也很简单，当素数只有2指数不为0时，指数和最大
有2^31>2e9
即所有素数指数和一定不超过30
这样，我们得出了反素数具备的几个性质
见下方代码头文件前
1 //反素数y的性质： 2 //1.y=a1^n1*a2^n2*...*an^nn 3 // 其中a为素数，n1>=n2>=...>=nn 4 //2.约数个数(y)=(n1+1)*(n2+2)*...*(nn+1) 5 //3.y的质因数指数总和不超过31 6 //4.y的质因数最大不超过31 7 #include <bits/stdc++.h> 8 using namespace std; 9 int n; 10 int prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31}; 11 //所有素数，方便一一枚举 12 int most=-1; 13 //most表示最大约数个数 14 long long ans=-1; 15 //ans表示约数最多的数中最小的（符合反素数定义 16 //十年OI一场空，不开long long见祖宗 17 void dfs(int x,int l,int m,int up){ 18 //x表示当前数字大小 19 //l表示当前枚举到的素数约数的下标 20 //m表示x的约数总个数 21 //up表示上一个素数的指数大小 22 if(m>most||(m==most&&x<ans)){ 23 //要么约数更多，要么约数相同但更小 24 most=m; 25 ans=x; 26 } 27 long long now=x; 28 int i=0; 29 //i表示此素数指数大小 30 while(i<=up){ 31 //反素数性质1，当前素数指数不大于上一素数指数 32 i++; 33 if(n/now<prime[l])return ; 34 //保证now不超过n 35 int k=m*(i+1); 36 //反素数性质2，k表示now的约数个数 37 now*=prime[l]; 38 if(now<=n)dfs(now,l+1,k,i); 39 } 40 } 41 int main(){ 42 scanf("%d",&n); 43 dfs(1,1,1,31); 44 printf("%d",ans); 45 return 0; 46 }
蓝题还是很有意思的
//谁掠夺春秋
//谁在大雨之后
//把旗帜插在最高的楼
//执着信念还有谁有
//有谁能坚守
//摇摇欲坠不停退后
//毁灭即拯救
//夏日掠夺春秋
//结局无法看透
//明知城池已失守
//缠绵往复不肯放手
//——极恶都市
