【算法•日更•第五十六期】扩展欧几里得算法

▎裴蜀定理

　　这个定理很简洁，就是关于x，y（都是整数）的不定方程在下面的情况下：

　　

　　必定有解。

　　这只是个前置知识，就不证明了（主要是小编太菜）。

▎不定方程

　　考虑方程ax+by=c的解的情况：

• 若c=gcd（a，b），那么依照裴蜀定理有解；
• 若c=k*gcd（a，b），先两边同除k，就会转化成标准形式，有解；
• 若c与gcd（a，b）互质，那么无解；

　　所以问题就是：

　　

　　如何解决，只要解决了这个问题，所有解的情况就解决了。

▎问题解决

　　现在我们考虑怎么让这个问题更简单，思考这样一个问题，已知：

　　

　　的解（x，y），那么怎么推出：

　　

　　的解（x‘，y’）呢？

　　先抛出结论：

　　下面是证明过程：

　　

　　知道了这个东西之后，我们就可以在算完

　　

　　的时候很快推出：

　　

　　这样可以层层递归下去，直到y=0，那么x=1，y=0的情况下就是a+0=gcd（a，0），此条件成立，那么再回溯回去就可以了。

▎代码实现

　　感觉像极了辗转相除法。

pair<int,int> exgcd(int a,int b)
{
        if(b==0) return pair(1,0);
        pair<int,int> sum=exgcd(b,a%b);
        return pair<int,int>(y,x-a/b*y);
}