【算法•日更•第四十一期】组合与排列

▎排列

☞『引入』

　　思考一个问题：

你的眼前现在有三个人：gzr、lsh、hza，如何排列他们的位置呢？

　　显然，有这样的排法：

gzr、lsh、hza

gzr、hza、lsh

hza、lsh、gzr

hza、gzr、lsh

lsh、gzr、hza

lsh、hza、gzr

　　一共是六种。

 ☞『定义』

　　这不就是排个顺序吗？相信定义就不需要拿出来讲了。

　　但是唯一要注意一点：排列是关心顺序的。

 ☞『n中选n个求解』

　　那么我们在n个人中进行排列的方案数有多少种呢？

　　显然，第一个人有n种方案;

　　第二个人有n-1种方案;

　　第三个人有n-2种方案;

　　……

　　第n个人有1种方案;

　　按照乘法原理，总的方案数就是n*(n-1)*(n-2)*…*2*1。

　　发现了什么？这岂不是 n！ 。

 ☞『n中选m个求解』

　　依旧是上面的思路，只不过不是n！了。

　　现在我们来思考：n！在这种情况下，被多乘了多少次？

　　当然有（n-m）！次都是多乘的，所以有n！/（n-m）！个方案。

▎排列数

　　当n个中取m个的时候，我们可以用来表示。

　　比如说5个数排列三个位置就有个方案。

▎组合

 ☞『引入』

　　来思考下面的问题：

有三只小狗，分别是中华田园犬、柴犬、拉布拉多。

但是现在只有两块狗狗零食，那么为了公平起见，一只狗最多只能吃一个，所以只能给两只狗狗吃，剩下的那一只只能下次了。

所以，问题是：分配的方案数有多少种？ 

 　　这就是组合的问题。

 ☞『定义』

　　在刚才的问题中，仍然是上面的选择方案数问题，但是却不太一样了。

　　由于狗狗吃了就是吃了，不会在意顺序，而刚才的排列是在意顺序的。

　　所以，组合和排列不同的地方就是是否关心顺序是怎样的。

 ☞『求解』

　　对比刚才的排列，如何快速求出组合的方案数呢？

　　不难发现同一种组合方式被当作排列一定会算，所以就只要在排列的结果上除以就可以了。

　　所以公式就是：。

▎组合数

 ☞『表示』

　　刚才的那个C的符号就是组合的符号，和排列的用法一样。

　　也就是说将n中选m个的排列方案数记做。

 ☞『通项公式』

　　现在不思考前n-1个数是怎么选的，只关心第n个数。

　　显然，情况就两种，要么被选，要么不被选。

　　被选上一定是从转移来的，不被选上一定是从转移来的。

　　所以按照加法原理，通项公式就是这样的：。