【算法•日更•第二十一期】数据结构：差分与前缀和

▎前言

　　首先来说明一下，查分和前缀和并不像数据结构，更多的是技巧，只不过是被归类为数据结构中的东西。

▎前缀和

☞『什么是前缀和？』

　　前缀和其实就是给定一个数列，pre[i]存储前i个数的和的意思。

　　显然，我们可以得到一个公式：pre[i]=pre[i-1]+a[i]。

☞『前缀和有什么用？』

　　快速查询一个区间[l,r]的和。

　　显然，我们又得到了一个式子：[l,r]的和=pre[r]-pre[l-1]。

☞『前缀和的应用』

　　线段树，树状数组等。

▎差分

☞『什么是差分？』

　　差分，又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具，常用函数差近似导数。

差分在数学、物理和信息学中应用很广泛，模拟电路中有差分放大电路 [1]  一说。差分运算，相应于微分运算。(copy自百度）

　　什么？你竟然问我什么是差分！其实你已经会了，刚才在说前缀和时就已经讲过了[l,r]的和=pre[r]-pre[l-1]，这就是差分。

　　其实这些都只是小技巧，很简单，也常用，那么我们继续拓展一下。

▎二维前缀和

　　在刚才，我们已经学会了一维前缀和，那么增到二维会怎样？

　　现在我们知道的都变了，已知一个矩阵，每次询问子矩阵的和。

　　

　　（copy自洛谷zcysky的ppt）

　　那么我们可以很容易的知道pre[i][j]=pre[i–1][j]+pre[i][j–1]-pre[i–1][j–1]+a[i][j]的公式，但是为什么又加上了a[i][j]呢？因为这一部分被减了两次，所以要加回来。

　　就是这么简单，就不过多解释了。