【算法•日更•第七期】区间动态规划详解+一本通1570能量项链题解

▎前置基础

　　啥也不用说，不会动态规划绝对看不懂，请不会动态规划的同志们先戳这里了解基础动态规划。

▎什么是区间动态规划？

　　区间动态规划可以理解为用了分治的动态规划。

　　顾名思义，动态规划中涉及了区间，那么这正好和分治常用题型一样，如果你知道分治是什么，那么就很容易理解了。

　　那么先来想想分治是什么？分而治之，就是把一个大问题分成小问题，再把小问题的结果合并起来，就得到了原大问题的结果。

　　掺了分治的动态规划也可以这样，比方说现在要求f[i][j]，那么我们总能找到k，使i≤k<j，分别求出f[i][k]和f[k+1][j]的值，再加起来，就是f[i][j]的值。图解一下就是这样的：

　　

　　当要求的是最优值时就可以表示为f[i][j]=max{f[i][k]+f[k+1][j]}，其中k是变量，依次在区间[i,j]中找到k值，计算找到最大的f[i][k]+f[k+1][j]值，就是f[i][j]的值。

　　你可能会问怎么知道f[i][k]和f[k+1][j]的值，很简单，要么递归，要么递推，递归的话直到递归边界会返回一个值，逐步回带；递推是一步一步算上来的，在算f[i][j]以前就先算过了f[i][k]和f[k+1][j]。

▎实战演练

 　　可能有点难理解，主要是却例子，那么就直接上题吧！

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信息奥赛一本通1570能量项链题

☞『题目』

1570：【例 2】能量项链

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【题目描述】

原题来自：NOIP 2006

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记和尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记必定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘——Mars 人吸收能量的器官的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可被吸盘吸收的能量。如果一颗能量珠头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放出 m×r×n  Mars单位的能量，新珠子头标记为 m，尾标记为 n。

当需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不一样的。请设计一个聚合顺序使得一串珠子聚合后释放出的总能量最大。

例如，设 N=4，四颗珠子头标记与尾标记分别为 (2,3),(3,5),(5,10),(10,2)。我们用记号 ⨂ 表示两颗珠子的聚合操作，(j⨂k) 表示 j,k两颗珠子聚合后释放出的能量，则4,1两颗珠子聚合后所释放的能量为(4⨂1)=10×2×3=60，这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放出的总能量为(((4⨂1)⨂2)⨂3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

现在给你一串项链，项链上有 n 颗珠子，相邻两颗珠子可以合并成一个，合并同时会放出一定的能量，不同珠子合并放出能量不相同，请问按怎样的次序合并才能使得释放的能量最多？

【输入】

第一行一个正整数 n

第二行 n 个不超过 1000 的正整数，第 i(1≤i≤n) 个数为第 i 颗珠子的头标记，当 i≠n 时第 i 颗珠子的尾标记等于第 i+1 颗珠子的头标记，当 i=n 时第 i 颗珠子的尾标记等于第 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放在桌面上，不要出现交叉，随机指定一颗珠子为第一颗珠子，按顺时针确定其它珠子的顺序。

【输出】

输出只有一行，一个不超过 2.1×109 的正整数，表示最优聚合顺序所释放的能量。

【输入样例】

4
2 3 5 10

【输出样例】

710

【提示】

数据范围与提示：

对于 100% 的数据，4≤n≤100。

【来源】

无

☞『题目分析』

　　这道题一看似乎用原来的动态规划不好解决，那么一看到要合并，又会用到区间，就自然而然的想到了区间动态规划。

　　首先就有一个问题，这是个环状问题，十分棘手，遇到这种情况，我们就应该破环成链，那么怎么样才会成链呢？很简单，只要变成两个就行了。可能没有说明白，举个例子。比如说数据是这样的：1 2 3 4 5，那么我们就改成这样1 2 3 4 5 1 2 3 4 5，似乎没有什么，请先仔细看下图：

　　

　　左边的环状正是以任一数作为第一个都可以。而右边呢？也可以！比如说3开头，那么请看：

　　

　　细细一看，这就保留了环的性质，唯一要注意的就是操作时不要忘记这是5个数，而不是10个数。

　　好了，回到这道题，我们可以使用破环成链的方法使问题更简便。

　　那么我们如何区间动态规划呢？

　　首先先来思考，我们一定是先合并小的区间，一步一步地合到大区间，而不是直接上来合并大区间的，小区间还没算，大区间怎么可能算过？

　　所以我们肯定是先合并相邻的，再合并区间长为2的，再是3的，4的……所以，我们需要一个变量t来存储我们现在需要合并长为几的区间，同时根据这个变量t和起始位置i来确定j的位置。

　　这样，思路就很清晰了，详见代码注释。

☞『Code speaks louder than words!』

#include<iostream>
using namespace std;
int head[10000],tail[10000],f[1000][1000],num,ans;
inline int add(int n,int m,int r)//计算获得的能量值 
{
    return n*m*r;
}
int main()
{
    cin>>num;
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        cin>>head[i];
        head[i+num]=head[i];//破环成链 
    }
    for(int i=1;i<=2*num-1;i++)
    {
        tail[i]=head[i+1];//计录尾标记 
    }
    tail[2*num]=head[1];//最后一个是特例，要单独赋值 
    for(int t=1;t<=num-1;t++)//合并区间的长度 
    for(int i=1;i<=2*num-t;i++)//剪t是为了避免j超出2*num 
    {
        int j=i+t;
        for(int k=i;k<j;k++)//i，j之间的过继点 
        {
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+add(head[i],tail[k],tail[j]));//详见上文 
        }
    }
    for(int i=1;i<=num;i++) ans=max(ans,f[i][i+num-1]);//因为每一个点都可以是第一个，找到所有情况中的最大值 
    cout<<ans;
    return 0;
}