并查集——亲戚
废话不多说，直接看题：
一看这道题，我就有了思路：既然这道题身在图论板块，那么就要用图的存储、操作方法来解决，先开一个二维数组a[20001][20001]，把初值尽可能赋大，再输入数据，并建立关系，然后用floyed算法，虽然不用求最短路径，但是至少能知道两人的关系能否通过中继联通，如果结果正常（即a[i][j]!=999999)，则输出“Yes”，否则输出“No”。
代码如下：
#include<iostream> using namespace std; int a[20001][20001],n,m,q;int x,y; int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) { a[i][j]=999999;//初始化，方便floyed算法 } for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=0;//自己和自己当然不是亲戚 for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y; a[x][y]=1;//建立关系 a[y][x]=1; } for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) { if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])//floyed算法 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]; } cin>>q; while(q--) { cin>>x>>y; if(a[x][y]!=999999) cout<<"Yes"<<endl;//有关系 else cout<<"No"<<endl;//无关系 } return 0; }
可是结果却不容乐观，花式错误：运行超时，运行错误，内存超限。通过这道题我明白了电脑内存有多么脆弱，才4*10^8个数，我平时十分珍惜空间大小，每一次都开小数组，难得浪一次，竟然爆空间了。我仍不死心，又换成深搜试了试，结果连样例都过不了~~，代码就不奉上了；后来我有恶补比floyed算法快的其他最短路径算法（如dijkstra），发现时间复杂度也好不到哪去。后来回头一看题，竟然关系就有100，0000个，询问有10，0000次，这是让我O（n）做完吗，还要用一维数组，后来听说要用并查集。
那么并查集是什么？这并查集得分开看每一个字；前两个字“并”和“查”都是并查集的基本操作，稍后自然会说；“集”则代表这些数是一个个集合。“天生我才必有用”，并查集比起数组来说，更节省空间，二维数组10000*10000就爆了，怎能容得下这道题的数据范围呢？而并查集用的只是一维数组；而且并查集比起floyed算法来说，时间复杂度也只有O（n），比floyed O（n^3）好多了。
接下来就以此题为例，介绍一下并查集的基本操作：
1）初始化并查集：把每一个数据都先初始成一个单独的集合；
2）查找：不断递归/循环找到指定数据的父节点，直到找到其祖先节点，其中并查集数组每一元素存储的是其父节点编号，祖先节点满足无父节点，也就是其存储值仍为初始化时的值，即其编号等于其存储的值（因为初始化时为了分成不同集合把存储值赋成其编号）；祖先节点并非真的是祖先，其实就是一个标志，只要值为同一祖先节点编号的元素，都能判断他们在同一集合中，节省了时间；
3）合并：如果两人祖先不同，且数据给出他们有亲缘关系，就可以将他们合并到同一祖先下；
4）判断元素是否在同一集合中：判断二人祖先是否相同，如果相同，则在同一集合内；否则在不同集合。
废话不多说，为了更好理解，特呈上手写模板，可以与上文结合看：
#include<iostream> using namespace std; int a[20001],n,m,x,y,q,x2,y2; void setup()//初始化并查集 { for(int i=1;i<=n;i++)//共有n个人，每个人都要初始化 { a[i]=i;//初始化每个人都是独立的集合 } } int find(int x)//查找祖先 { if(a[x]==x) return x;//找到祖先立即返回 else return a[x]=find(a[x]);//否则继续寻找+优化（路径压缩） } void mix(int x,int y)//合并至同一集合 { x=find(x);y=find(y);//计算两人的祖先 if(x!=y) a[x]=y;//若不相同则将x合并到y的祖先下 } bool is_relative(int x,int y)//判断是否有亲属关系 { return find(x)==find(y);//查看两人祖先，判断是否相同并返回布尔值以便输出 } int main() { cin>>n>>m; setup();//初始化 for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>x2>>y2; mix(x2,y2);//合并到同一集合 } cin>>q; while(q--) { cin>>x2>>y2; if(is_relative(x2,y2)) cout<<"Yes"<<endl;//有关系 else cout<<"No"<<endl;//没关系 } return 0; }
要AC代码的同志切勿粘贴，别说我没说过，这只是个模板。小编习惯用cin，cout再加上多次使用函数，会使速度变慢，但是改过之后发现仍不能过，代码就算了，于是又研究并查集的优化方法，提升速度，常规优化方法如下：
1）路径压缩：听到这个词，小编就想路径压缩麻烦吗？会有什么好处？既然压缩，又怎么压缩？不用担心，小编会一一解答。其实小编代码中的find函数已经在用路径压缩了，可以和我下面讲的相结合来看。其实也好理解，下面是小编一时兴起画的，技术不好，见谅。
如图所示左图为路径压缩前的亲戚关系图，要确定4和6有无亲戚关系则需要浪费更多的时间；但右图是压缩路径后的亲戚关系图，能很好地表现出各节点到祖先节点的关系，查找次数也由此减少。但路径压缩的弊端也显露出来，这样虽然能表现出各节点和祖先节点的关系，但却破坏了原本的结构，无法判断各节点到父节点的直接关系，在个别题目不能使用。
2）按秩合并：这个优化方法既麻烦又不怎么常见，有两种，按大小合并和按深度合并，大小合并很简单，小的合到大的集合中呗；深度合并则考虑的更多，将关系当成树，把深度小的合并到深度大的上。优点是既能节约时间还能保留好原有关系，但是没有路径压缩快，此题不宜用，也就不详解了（其实是小编不太会），知道思想就行。
优化之后就大功告成了，小编心中尚存一丝侥幸，据说“std::ios::sync_with_stdio(false);可以使cin，cout和scanf，printf速度相差无几”，这是在《信息学奥赛一本通》上看到的，应该挺有用的吧，小编试了一下，切，还相差无几，简直和原来一样，依旧是四个测试点没过超时，最终全部改成scanf，printf就通过了。行了，不说了，代码胜于雄辩，AC代码呈上：
#include<cstdio> using namespace std; int a[20001],n,m,sum,p,q; /*void setup() //初始化每一个集合 { for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=i;//每一个人都初始化为一个单独集合 } }*/ int find(int x)//不断寻找父节点+路径压缩 { if(a[x]==x) return x;//找到尽头，即祖先节点 else return find(a[x]); } /*void mix(int x,int y)//合并各个集合 { x=find(x);y=find(y); if(x!=y) a[x]=y;//将x和y合并到同一祖先下 }*/ /*bool is_relative(int x,int y)//判断是否同一祖先，是否在同一集合 { return find(x)==find(y); }*/ int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=i;//每一个人都初始化为一个单独集合 } for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&p,&q); int r1=find(p); int r2=find(q); if(r1!=r2) a[r2]=r1; } scanf("%d",&sum); while(sum--) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); if(find(x)==find(y)) printf("Yes \n"); else printf("No \n"); } return 0; }
