CF1451D Circle Game 题解

题意分析

给出一个半径为 $d$ 的圆，以 $(0,0)$ 为起点，每次可以向上或向右移动 $k$ 个单位，先移出圆的为败，求先手还是后手能赢。

思路分析

经过分析可以发现，无论对方怎么走，先手可以保证在直线 $y=x+k$ 或 $y=x-k$ 上行走，后手可以保证在直线 $y=x$ 上行走。因此，当存在一个必胜点（即下一步必定出圆） $(x,y)$ 满足 $|y-x|=k$ 且 $k|x$ ，则先手可以走到这里保证必胜；同理，当存在一个必胜点 $(x,y)$ 满足 $x=y$ 且 $k|x$ ，则后手可以走到这里保证必胜。

具体实现

显然我们应该首先在直线 $y=x$ 上走得尽量远，然后判断最远的点是否为必胜点，如果是则后手胜，否则先手胜。具体判断即看下一步是否会超出圆。显然最远即半径长 $d$ ，而每走 $2$ 步走的距离即为 $\sqrt{2}k$ ，因此能走的最大步数为 $2\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor$ ，此时的坐标为 $(k\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor,k\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor)$ 。下一步往上走和往右走都一样，即走到 $(k\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor,k(\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor+1))$ ，用两点间的距离公式判断是否出圆即可，即最终只需要判断 $(k\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor)^2+(k(\left \lfloor \frac{d}{\sqrt{2}k} \right \rfloor+1))^2>d^2$ ，若成立，则会超出，后手胜；否则先手胜。向下取整可以直接强制类型转换为整型。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
#define ld long double
using namespace std;
int T;
ll d,k;
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&d,&k);
        puts(pow(k*(ll)((ld)d/sqrt((ld)2)/k),2)+pow(k*(ll)((ld)d/sqrt((ld)2)/k+1),2)>d*d?"Utkarsh":"Ashish");
    }
    return 0;
}