[NOI2020]命运 题解

题意分析

给出 $m$ 条直链，要求每条链上至少选中一条边，求方案数。

思路分析

想到用 DP 求解，自下向上统计。可以发现，对于下端点相同的链，若上端点最深的链满足条件，则这些链都会满足条件。另外，若一些对于经过一个节点的链，若比这个节点更深的边全部不选，则可以等同于这些链的下端点相同。

因此，可以设 $f_{x,i}$ 表示经过 $x$ 的未满足条件的上端点的最大深度为 $i$ 时的方案数，若没有经过 $x$ 的链则为 $0$ 。题目所求即为所有条件都满足时的方案数，即 $f_{root,0}$ 。对于 $x$ 的子节点 $y$ ，若选中边 $(x,y)$ ，则经过所有经过 $y$ 的边都可以满足条件；若不选，则只有上端点深度 $\leq i$ 的链才可以满足条件。即：

$$f'_{x,i}=f_{x,i} *\sum_{j=0}^{d_x} f_{y,j}+\sum_{j=0}^i\sum_{k=0,max(j,k)=i}^i f_{x,j}*f_{y,k}$$

整理得：

$$f'_{x,i}=f_{x,i} *(\sum_{j=0}^{d_x} f_{y,j}+\sum_{j=0}^{i} f_{y,j})+f_{y,i}\sum_{j=0}^{i-1} f_{x,j}$$

发现这个式子显然可以用前缀和优化。想到用线段树合并来做，其中 $\sum_{j=0}^{d_x} f_{y,j}$ 对于同一个 $y$ 来说是定值，可以先查询；剩下的元素都可以在线段树合并的过程中计算。可以维护一个乘法标记，前缀和可以通过先走左子树再走右子树来计算。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+100;
const ll P=998244353;
struct Seg
{
    int lson,rson;
    ll sum,mul;
    #define lson(i) t[i].lson
    #define rson(i) t[i].rson
    #define sum(i) t[i].sum
    #define mul(i) t[i].mul
}t[N<<5];
int n,m,tot,cnt;
int head[N],ver[2*N],Next[2*N];
int r[N],d[N];
vector<int> query[N];
void add(int x,int y)
{
    ver[++tot]=y,Next[tot]=head[x],head[x]=tot;
    ver[++tot]=x,Next[tot]=head[y],head[y]=tot;
}
void add_query(int x,int y)
{
    query[y].push_back(x);
}
void spread(int p)
{
    if(lson(p))
    {
        sum(lson(p))=sum(lson(p))*mul(p)%P;
        mul(lson(p))=mul(lson(p))*mul(p)%P;
    }
    if(rson(p))
    {
        sum(rson(p))=sum(rson(p))*mul(p)%P;
        mul(rson(p))=mul(rson(p))*mul(p)%P;
    }
    mul(p)=1;
}//下传标记
int change(int p,int l,int r,int k)
{
    if(!p)
        p=++cnt,sum(p)=mul(p)=1;//新建节点
    if(l==r)
        return p;
    spread(p);
    int mid=l+r>>1;
    if(k<=mid)
        lson(p)=change(lson(p),l,mid,k);
    else
        rson(p)=change(rson(p),mid+1,r,k);
    return p;
}//新树，类似单点修改
ll ask(int p,int l,int r,int k)
{
    if(!p)
        return 0;
    if(r<=k)
        return sum(p);
    spread(p);
    int mid=l+r>>1;
    ll now=0;
    now=(now+ask(lson(p),l,mid,k))%P;
    if(k>mid)
        now=(now+ask(rson(p),mid+1,r,k))%P;
    return now;
}//区间查询 [0,k]
int merge(int x,int y,int l,int r,ll &sumx,ll &sumy)
{
    if(!x && !y)
        return 0;
    if(!x)
    {
        sumy=(sumy+sum(y))%P;
        sum(y)=(sum(y)*sumx)%P;
        mul(y)=(mul(y)*sumx)%P;
        return y;
    }
    if(!y)
    {
        sumx=(sumx+sum(x))%P;
        sum(x)=(sum(x)*sumy)%P;
        mul(x)=(mul(x)*sumy)%P;
        return x;
    }
    if(l==r)
    {
        int nowx=sum(x);//sum(x) 的值会改变，先存储
        sumy=(sumy+sum(y))%P;
        sum(x)=(sum(x)*sumy+sum(y)*sumx)%P;
        sumx=(sumx+nowx)%P;//f[x][i]*f[y][i] 算过一遍就不重复计算
        return x;
    }
    spread(x),spread(y);
    int mid=l+r>>1;
    lson(x)=merge(lson(x),lson(y),l,mid,sumx,sumy);
    rson(x)=merge(rson(x),rson(y),mid+1,r,sumx,sumy);
    sum(x)=(sum(lson(x))+sum(rson(x)))%P;
    return x;
}
void solve(int x,int fa)
{
    d[x]=d[fa]+1;
    int maxd=0;
    for(int i=0;i<query[x].size();i++)
        maxd=max(maxd,d[query[x][i]]);//找到最大深度
    r[x]=change(r[x],0,n,maxd);//新节点
    for(int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if(y==fa)
            continue;
        solve(y,x);
        ll nowy=ask(r[y],0,n,d[x]),nowx=0;//先查询定值
        r[x]=merge(r[x],r[y],0,n,nowx,nowy);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add_query(x,y);
    }
    solve(1,0);
    printf("%lld",ask(r[1],0,n,0));
    return 0;
}