树上差分详解

树上差分,顾名思义,就是在树上进行差分,以起到优化复杂度的目的。主要作用是对树上的路径进行修改和查询操作,在修改多、查询少的情况下复杂度比较优秀。实际上,树上差分能够实现的操作,用线段树、树剖、$LCT$等等也可以实现,但它的优势在于实现简单,可以避免在考场上出现写题五分钟、调试两小时的情况 当然大佬可以忽略这点


差分

在讲解树上差分之前,先讲一下差分的思想。

差分,可以当做前缀和的逆运算。既然是逆运算,运算方法自然就是相反的了。定义差分数组$diff$,则运算法则为:(设原数列为$a$)
$$diff_i=a_i-a_{i-1}$$
作个比较:

 

原数列94759
前缀和 9 13 20 25 34
差分数组 9 -5 3 -2 4
前缀和的差分数组 9 4 7 5 9
差分数组的前缀和 9 4 7 5 9


显然,原数列的前缀和的差分数组还是原数列,原数列的差分数组的前缀和也是原数列,这就是差分被称为前缀和的逆运算的原因,也是差分可以用来优化操作的原因。实际上,差分优化和前缀和优化原理类似,只是实现相反。前缀和优化常常对前缀和数组作差,差分优化也常常对差分数组求前缀和。

这样,差分的概念就很清晰了。接下来开始进入正题。


树上差分

树上差分有什么作用?举个例子,如果题目要求对树上的一段路径进行操作,并询问某个点或某条边被经过的次数,树上差分就可以派上用场了。这就是树上差分的基本操作。

树上差分,就是利用差分的性质,对路径上的重要节点进行修改(而不是暴力全改),作为其差分数组的值,最后在求值时,利用$dfs$遍历求出差分数组的前缀和,就可以达到降低复杂度的目的。

树上差分时需要求$LCA$,不会的可以点击食用

的树上差分原理相同,实现略有不同,这里分开来讲。

点差分

设将两点$u,v$之间路径上的所有点权增加$x$,$o=LCA(u,v)$,$o$的父亲节点为$p$,则操作如下:

diff[u]+=x,diff[v]+=x,diff[o]-=x,diff[p]-=x;

怎么样,是不是很简单!原理也很简单,举个例子:

设原树如下,现要将$2,3$之间路径上的所有点的权值增加$3$,设原权值均为$0$。

则操作后有:

这样,只要$dfs$一遍,遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和,就是当前节点的最终权值!  是不是很厉害

就是差分的思想,这里就不多说了。

边差分

思想一样,讲一下操作。

设将两点$u,v$之间路径上的所有边权增加$x$,$o=LCA(u,v)$,以每条边两端深度较大的节点存储该边的差分数组,则操作如下:

diff[u]+=x,diff[v]+=x,diff[o]-=2*x;

再举个例子,还是上面那个图 绝对不是我懒

则操作后有:

同样地,只要$dfs$一遍,遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和,就是当前节点到父亲节点的边的最终权值了!

 是不是很厉害

至于为什么点差分和边差分的操作不一样,很简单,请读者自己思考。

树上差分主要还是学习思想吧!


习题:

差分

综合应用题:P1083

树上差分

简单模板题:P3128

综合应用题:P2680


参考资料:

洛谷日报#76


2019.7.16 于厦门外国语学校石狮分校

posted on 2019-08-19 13:47  TEoS  阅读(15408)  评论(1编辑  收藏  举报