圆覆盖

最小圆覆盖

给定\(n\)个二维平面上的点，求一个面积最小的圆，可以覆盖所有点。

常见的是增量法实现的时间复杂度与空间复杂度均为\(O(n)\)的算法。

用\(C_i\)表示前\(i\)个点组成的最小圆。

1. 将所有点随机排序。
2. 按照顺序依次加入点，每次加入\(i_{th}\)点时进入操作3。
3. 如果当前点\(i\)已经在圆\(C_{i-1}\)内部，那么\(C_i = C_{i-1}\)，进入操作2，否则操作4。
4. 固定\(i\)为圆心，每次去找\(j(1 \leq j < i)\)是否在\(C_i\)外，如果是，则以\(i,j\)为直径重新作圆。进入操作5。
5. 枚举点\(k\)是否满足\(k\)在\(C_i\)外，如果是，那么以\(i,j,k\)为圆边界作圆。

上面这个算法以第一步为基础，要求顺序必须是随机的，否则复杂度会高达\(O(n^3)\)。

---

我认为其实上面的做法和计算树的直径算法很相似。

树的直径：树上相距最远两点的距离。

1. 随机找一个根节点，将其设为root。
2. 从root搜索相距最远的点\(i\)，即\(i = arg\max _j dis(j, root)\)。
3. 从\(i\)搜索相距最远的点\(k\)，即\(k=arg\max_j dis(j, i)\)。
4. 直径为\(dis(i,k)\)。