【题解】拆分

题目描述

【题目描述】
    鸡尾酒又带着大家学习新定义啦！今天要学习的内容是集合的 mex，集合的 mex 指的是一个集合没有出现过的最小自然数。
    例如，mex({1,2}) = 0、mex({0,1,2,3}) = 4。
    现在你有一个包含 n 个元素的集合，你可以将它分成任意个数量的新集合，使得所有新集合的 mex 值之和最大，求这个最大值是多少。
【输入格式】
    第一行输入一行一个正整数 n，接下来一行包含 n 个非负整数，表示集合中的元素 ai。
【输出格式】
    输出一行一个整数表示答案。
【样例】
    样例输入1
        5
        0 0 1 1 2
    样例输出1
        5
    样例说明1
        分成两个集合 {0, 1}, {0, 1, 2}，第一个集合的 mex 为 2，第二个集合的 mex 为 3 ，两个集合的 mex 之和为 5 ，这样分集合是最大的。
        当然也可以分成 {0}, {0}, {1}, {1}, {2}，但是这样五个集合的 mex 之和为1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2。
    样例输入2
        5
        1 2 3 4 5
    样例输出2
    0
    样例说明2
        因为原集合没有 0，所以无论怎么分集合，每一个新集合都不会有 0，所以每一 个集合的 mex 都为 0，答案一定为 0。
【数据范围】
    本题共有 10 个测试点 第一个测试点有 0 < ai 第二个测试点有 ai = 0
    第 3 − 4 个测试点有 0 ≤ ai ≤ 1
    对于所有测试点，有 1 ≤ n ≤ 105, 0 ≤ ai ≤ 1000

题目大意

给定一个包含 \(n\) 个元素的集合，你可以将它分成任意个数量的新集合，使得所有新集合的 \(mex\) 值之和最大，求这个最大值是多少。

关于 \(mex\) 值的定义：一个集合中没有出现过的最小自然数。

思路

该题主要考察：贪心。

众所周知，集合内是没有相同元素的。因此可以将每个分割后的新集合分类讨论：

1. 集合中有 \(0\)：此时需要计算集合的 \(mex\) 值。
2. 集合中没有 \(0\)：此时集合的 \(mex\) 值为 \(0\)。

所以，对于每一个 \(0\) 就会有对应的一个新集合。

然后，由于题目要求所有新集合的最大的 \(mex\) 值之和，所以每个新集合都要尽量有更多的元素。
但是，考虑特殊情况：对于集合 \(\{0, 1, 2, ..., 999, 1000\}\) 来说，其 \(mex\) 值为 1001。
所以要判定特殊情况。

那么，题目就迎刃而解了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, a[N];
int t[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    int cnt = 0; // cnt 用于 统计新集合个数
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        if (a[i] == 0) cnt ++ ; // 对于每一个 0 就会有对应的一个新集合
        else t[a[i]] ++ ;
    }

    int ans = 0;
    while (cnt -- ) // 依次处理每个新集合
    {
        // 注意 i <= 1001，应对集合为 {0, 1, 2, ..., 1000} 的情况
        for (int i = 1; i <= 1001; i ++ )
        {
            if (t[i]) t[i] -- ;
            else
            {
                ans += i;
                break;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}