【题解】 [CSP-J 2019 T3] 纪念品

题目描述

题目大意

在 \(T\) 天内，有 \(n\) 种纪念品和初始的 \(m\) 元。可以得到每天每种纪念品的价格。每一天可以以当日价格买卖纪念品。
特别的，当天卖出得到的钱可以当天买入，当日买入的纪念品也可以当日卖出。当然可以一直持有。
但是，\(T\) 天过后，手上不可以持有纪念品。

思路

题目主要考察：完全背包。
那么想要解决这道题，首先思考一个问题：

• 买入后什么时候卖出？这个问题可以利用反悔贪心的思想。举个例子，假设用三天的价格分别是 \(p_1\)、\(p_2\)、\(p_3\)，且\(p_1 < p_2 < p_3\)。那么如果在第1天买入，在第2天可以产生利润就卖出了，利润则为 \(p_2 - p_1\)，但其实在第三天买入时利润为 \(p_3 - p_1\)，会更优。这时候就可以在第1天买入，第2天依旧卖出，但不同的是第2天再次买入，第3天卖出，利润就会变为 \((p_2 - p_1) + (p_3 - p_2) = p_3 - p_1\)，就可以补足差价。

所以，这 \(t\) 天的买卖情况应该是：

$sb$
第1天：买入
第2天：卖出
完全背包

第2天：买入
第3天：卖出
完全背包

......

第t-1天：买入
第t天：卖出
完全背包

---

背包的三要素就是：容量，消耗，价值。

• 容量：当天持有的钱。
• 消耗：买入价，即今天价钱。
• 价值：卖出价，即明天价钱。

用完全背包的压维模版：

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    for (int j = w[i]; j <= m; j ++  )
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

消耗 \(w_i\) 替换成今天价钱 \(p_{k, i}\)，价值 \(v_i\) 替换成明天价钱 \(p_{k+1, i}\)，容量 \(m\) 替换成当前持有的钱 \(ans\)。
其中 \(k\) 代表 第 \(k\) 天。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105, M = 1e4 + 5;
int t, n, m;
int p[N][N];
int dp[M];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &t, &n, &m);
    for (int k = 1; k <= t; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            scanf("%d", &p[k][i]);

    int ans = m; // 刚开始，持有m元
    for (int k = 1; k < t; k ++ ) // 做t-1次完全背包
    {
        memset(dp, 0, sizeof dp); // 重置

        // 完全背包压维模版：
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = p[k][i]; j <= ans; j ++ )
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - p[k][i]] + (p[k + 1][i] - p[k][i])); // (p[k + 1][i] - p[k][i]) 为 利润

        ans += dp[ans]; // 加上盈利
    }
    printf("%d\n", ans); // 输出最终持有的钱数

    return 0;
}