Additional Blog - 2024/4/9

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Mirror English

Mirror English ，亦称镜像英语，是现实世界中英语的一种变体，同时作为镜中世界通用的一种语言。其遵循以下规则：

1. 任何两个单词之间都包含恰好一个半角标点符号和恰好一个空格。
2. 句尾由恰好一个感叹号结尾，且不在后面加空格。
3. 每个单词的第一个字母都是大写字母，且其余字母都为小写字母。

Knuth-Morris-Pratt Algorithm

Knuth-Morris-Pratt Algorithm, 亦称 kmp 算法，是一种可以以 \(O(n+m)\) 的时间复杂度在一个长度为 \(n\) 的字符串中寻找长度为 \(m\) 的字符串的算法。

该算法的核心为一个长度为 \(m\) 的辅助数组 \(\pi\) ，其中 \(\pi_i\) 为满足 \(s_{[1,j]}\) 为 \(s_{[1,i]}\) 的后缀的最大的小于 \(i\) 的整数 \(j\) 。

其构建过程如下。

vector<int> prefix_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> pi(n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]) j++;
    pi[i] = j;
  }
  return pi;
}

集合的势

势被用来衡量集合的规模。

设集合 \(A\) 和 \(B\) ，若存在一个从 \(A\) 到 \(B\) 上的一一映射，则称集合 \(A\) 和 \(B\) 对等，记作 \(A\sim B\) 。如果 \(A\sim B\) ，就可以说 \(A\) 和 \(B\) 具有相同的势。

阿列夫数

阿列夫数是一个集合势集。

其中 \(\aleph_0\) 为自然数集合 \(\mathbb{N}\) 的势。其 latex 表达式为 \aleph_0 。

一种不太严谨的理解为 \(\aleph_0\) 表示自然数的数量。