AtCoder Beginner Contest 357 F Solution

0. 闲话

上午做了三套地理卷子，只有一套上八十。

愁啊。

一看这次比赛的 F，更愁了。

怎么这次 ABC 又成 TemplateCoder 了。

没打真是亏大了。

遂写了这篇题解。

1. 题面

题面在这，自己看。

非常简洁且底层。

2. 思路

线段树板题，只是加了点东西。

这道题要维护两个数组，所以需要两个 tag 分别给 \(A\) 和 \(B\) 用。

build 的时候非常简单，只需要分别计算出每个 \(A_iB_i\) 然后存储区间和就可以了。

update 也差不多，只是在更新 \(A\) 的时候对应答案加上 \(x\) 乘 \(B\) 的对应区间和，更新 \(B\) 的时候对应答案加上 \(x\) 乘 \(A\) 的对应区间和就行了。

push 要考虑的事情就多了。

首先考虑，对于一个区间，设其目前 \(A\) 和为 \(a\)，\(B\) 和为 \(b\)，区间大小为 \(s\) ，现在要给区间内的每个 \(A_i\) 加上 \(x\) ，每个 \(B_i\) 加上 \(y\)，原来该区间对应的答案为 \(r\)，那么答案应该如何更新。

新的答案 \(s'\) 由四个部分组成。

第一个部分，原来的 \(s\)。

第二个部分，\(ay\)，因为增加 \(y\) 带来的影响是由对应位置上的 \(A_i\) 决定的，它们的和为 \(a\)，带来的总增量就是 \(ay\)。

第三个部分，\(bx\)，由第二个部分同理可得，不进行赘述。

第四个部分，\(xys\)。因为，在计算第二个和第三个部分时，我们忽略了 \(x\) 和 \(y\) 互相之间的影响。实际上，假设区间内元素都是 \(0\)，那么对区间内的每一个 \(A_i\) 和 \(B_i\) 执行上述操作就等同于给每个位置上的答案加上 \(xy\)，总和即为 \(xys\)。

综上所述，

\[s'=s+ay+bx+xys \]

使用上方的公式进行下传不难。

记住要模，还要下传标记。

（我因为忘记下传标记错了两次，虽然是在赛后）

可以使用 AtCoder 给的 modint 库大幅降低码量。

3. 代码

#include <iostream>
#include <atcoder/modint>
using namespace std;
using namespace atcoder;
const int N = 2e5 + 10;
using ll = long long;
using mint = modint998244353;
struct st
{
    mint as, bs, absm;
    st operator+(const st &x) const
    {
        return {as + x.as, bs + x.bs, absm + x.absm};
    }
};
st tr[N << 2];
mint taga[N << 2], tagb[N << 2];
ll a[N], b[N], opt, v;
int n, m;
void psh(int x, int l, int r)
{
    int mid = (l + r) >> 1;
    tr[x << 1].absm += tr[x << 1].as * tagb[x] + tr[x << 1].bs * taga[x] + taga[x] * tagb[x] * (mid - l + 1);
    tr[x << 1 | 1].absm += tr[x << 1 | 1].as * tagb[x] + tr[x << 1 | 1].bs * taga[x] + taga[x] * tagb[x] * (r - mid);
    tr[x << 1].as += taga[x] * (mid - l + 1);
    tr[x << 1 | 1].as += taga[x] * (r - mid);
    tr[x << 1].bs += tagb[x] * (mid - l + 1);
    tr[x << 1 | 1].bs += tagb[x] * (r - mid);
    taga[x << 1] += taga[x], taga[x << 1 | 1] += taga[x];
    tagb[x << 1] += tagb[x], tagb[x << 1 | 1] += tagb[x];
    taga[x] = tagb[x] = 0;
}
void build(int x, int l, int r)
{
    if (l == r)
    {
        tr[x] = {a[l], b[l], a[l] * b[l]};
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(x << 1, l, mid);
    build(x << 1 | 1, mid + 1, r);
    tr[x] = tr[x << 1] + tr[x << 1 | 1];
}
void update(int x, int l, int r, int lb, int rb)
{
    if (l >= lb and r <= rb)
    {
        tr[x].absm += v * (opt ? tr[x].as : tr[x].bs);
        (opt ? tr[x].bs : tr[x].as) += v * (r - l + 1);
        (opt ? tagb[x] : taga[x]) += v;
        return;
    }
    if (taga[x] != 0 or tagb[x] != 0)
        psh(x, l, r);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (lb <= mid)
        update(x << 1, l, mid, lb, rb);
    if (rb > mid)
        update(x << 1 | 1, mid + 1, r, lb, rb);
    tr[x] = tr[x << 1] + tr[x << 1 | 1];
}
st query(int x, int l, int r, int lb, int rb)
{
    if (l >= lb and r <= rb)
    {
        return tr[x];
    }
    if (taga[x] != 0 or tagb[x] != 0)
        psh(x, l, r);
    int mid = (l + r) >> 1;
    st ret{0, 0, 0};
    if (lb <= mid)
        ret = ret + query(x << 1, l, mid, lb, rb);
    if (rb > mid)
        ret = ret + query(x << 1 | 1, mid + 1, r, lb, rb);
    tr[x] = tr[x << 1] + tr[x << 1 | 1];
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", a + i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", b + i);
    }
    build(1, 1, n);
    for (int i = 1, l, r; i <= m; i++)
    {
        scanf("%lld%d%d", &opt, &l, &r);
        if (opt <= 2)
            opt--, scanf("%lld", &v), update(1, 1, n, l, r);
        else
            printf("%lld\n", query(1, 1, n, l, r).absm);
    }
}

不多不少，刚刚一百行。