241115 noip 模拟赛

省流：\(90 + 100 + 25 + 10\)。

T1

题意：给定一个长为 \(n\) 的排列，定义一次操作为选出排列中至多 \(4\) 个不同的数，将它们任意重排，求最少操作次数让这个排列单调递增。

\(n \leq 10^6\)。

找出排列的所有置换环，设环长为 \(t_1,t_2,t_3,\cdots,t_m\)，则答案为：

\[\sum_{i = 1}^m \lfloor \frac{t_i}{3} \rfloor + \lceil \frac{\sum_{i = 1}^m [t_i \% 3 = 2]}{2} \rceil \]

解释如下：

若环长 \(> 4\)，则一次至多只能到位 \(3\) 个数，若最后剩下 \(3\) 或 \(4\) 个，只能多操作一次。而剩余 2 个的情况可以两对两对处理。
最优的操作方案即为：环长 \(> 4\) 时，每次到位 \(3\) 个；环长为 \(3\) 或 \(4\) 时，一次到位；两个环长为 \(2\) 的一次同时到位。

时间复杂度 \(\Theta(n)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int t,n,p[N],vis[N],sum[N];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>t;
	while(t--) {
		cin>>n;
		for(int i=1; i<=n; i++) cin>>p[i];
		int tot=0,ans=0;
		for(int i=1; i<=n; i++) vis[i]=false;
		int cnt1=0;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			if(vis[i]) continue;
			int cur=i,cnt=0;
			do {
				vis[cur]=true;
				cur=p[cur];
				cnt++;
			}while(cur!=i);
			if(cnt<=1) continue;
			ans+=cnt/3;cnt%=3;
			if(cnt==2) cnt1++;
		}
		cout<<ans+cnt1/2+cnt1%2<<endl;
	}
	return 0;
}

闲话：赛时写了个假完了的贪心，但是发现 \(n \leq 8\) 时卡不掉，特殊性质也卡不掉，有 \(90\) 分，所以不想改了\kx

T2

题意：有一张 \(n\) 个点，\(m\) 条边的图，你可以给每个点赋予互不相同的权值。你可以选择在任意节点出发，每次你可以走向这个与这个点相连的点中点权最小的点。请你找到一种赋予权值、以及选择开始节点的方案，使得你能够访问到的节点数最大（包括开始节点和结束节点），输出这个最大值。

\(n \leq 40\)。

直接暴搜，暴搜策略如下。

标记当前点 \(u\)，每次选择与 \(u\) 连边的未标记的点 \(v\)，然后标记 \(u\) 的所有邻居，并走向 \(v\)。

容易证明这样的路径一定合法，我们只需要对每条路径的长度取最大值即可。

暴搜时间复杂度为什么是对的呢？

设 \(n\) 个点的时间复杂度为 \(T(n)\)。

若当前点 \(u\) 还有 \(k\) 个邻居没有被标记，那么走完这一步后，将会新标记 \(k\) 个点。

故 \(T(n) = T(n - k) \times k + \Theta(n)\)，可以得出当 \(k = 3\) 时 \(T(n)\) 取得最劣，为 \(\Theta(3^{\frac{n}{3}} n)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=45;
vector<int> ve[N];
int n,m,vis[N],ans=0;
void dfs(int u,int dep) {
	ans=max(ans,dep);
	vector<int> tmp;
	for(int j=0; j<ve[u].size(); j++) if(!vis[ve[u][j]]) tmp.push_back(ve[u][j]),vis[ve[u][j]]=true;
	for(int i=0; i<tmp.size(); i++) dfs(tmp[i],dep+1);
	for(int j=0; j<tmp.size(); j++) vis[tmp[j]]=false;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		ve[u].push_back(v);
		ve[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) dfs(i,1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

闲话：其实赛时并不会证明这个复杂度，只是发现大样例跑的特别快，就没管了（

T3

题意：给定一个长为 \(n\) 的递增序列 \(a\)，其中有一个数 \(a_k\) 是答案，每次你可以询问一个数 \(x\)，然后得知 \(a_k\) 是 \(\geq x\) 还是 \(< x\)，花费 \(\lvert a_k - x \rvert\) 的代价，你需要求出一个最优策略使得最坏情况下花费代价最小，输出最小值。

\(n \leq 1000,a_i \leq 10^9\)。

考虑区间 dp 表示已经确定答案在这个区间内还需要花费多少的代价，记录区间 \([l,r]\) 以及 \(x\) 表示左端点以前的询问个数和 \(y\) 表示右端点以后的询问个数，方便计算贡献。时间复杂度 \(\Theta(n^5)\)。发现我们只需要记录 \(x - y\) 的值，于是时间复杂度降为 \(\Theta(n^4)\)。发现这个区间 dp 满足四边形不等式，于是可以决策单调性优化，时间复杂度降为 \(\Theta(n^3)\)。~~稍加一点观察~~，发现 \(x - y\) 的值是 \(\log a_i\) 这个量级的，于是可以把这一维压成 \(\log a_i\)，时间复杂度降为 \(\Theta(n^2 \log a_i)\)，于是就可以通过了。

设 \(c\) 为最优操作中的 \(x − y\) 的值，\(\lvert c \rvert\) 是 \(\Theta(\log a_i)\) 级别的大致证明：

设 \(v = a_n\)，则答案 \(\leq v\)。策略是直接二分值域查询，代价为 \((\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots) v \leq v\)。
若 \(c = 0\) 时询问的 \(y < \frac{v}{3}\)。则 \(x\) 在右侧的代价至少为 \(\frac{2v}{3}\)；\(x\) 在左侧的代价至少为 \(\frac{v}{3}\)，此后也最多 \(\frac{v}{3}\)。所以左侧代价一定不超过右侧，故此时的最优询问点 \(x\) 一定在 \([\frac{v}{3},\frac{2v}{3}]\) 中。
当 \(c != 0\) 时，只会赋一个 \(c\) 更趋于 \(0\) 的趋势，因此 \(\lvert c \rvert\) 是 \(\Theta(\log a_i)\) 级别的。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1005;
int n,a[N],dp[N][N][75],f[N][N][75];
signed main() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
	int k=35;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=0; j<=2*k; j++) dp[i][i][j]=(j-k)*a[i],f[i][i][j]=i;
	for(int len=2; len<=n; len++) {
		for(int l=1; l+len-1<=n; l++) {
			int r=l+len-1;
			for(int i=1; i<=2*k-1; i++) {
				int mn=LONG_LONG_MAX,pos;
				for(int j=f[l][r-1][i]; j<=min(f[l+1][r][i],r-1); j++) {
					int x=(dp[j+1][r][i+1]-dp[l][j][i-1])/2;
					x=max(x,a[j]+1),x=min(x,a[j+1]);
					int val=max(dp[l][j][i-1]+x,dp[j+1][r][i+1]-x);
					if(val<mn) mn=val,pos=j;
				}
				dp[l][r][i]=mn,f[l][r][i]=pos;
			}
		}
	}
	cout<<dp[1][n][k];
	return 0;
}

闲话：赛时会了 \(\Theta(n^4)\)，但是边界问题一直没调出来，浪费很多时间，感觉调出来了的话赛时能写出正解。

T4

还不会。

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本文作者：System_Error
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