(二)MIT公开课雷达系统导论之雷达方程

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最大的幸福，就是确信有人爱你，有人因为你是你而爱你，或更确切地说，尽管你是你，有人仍然爱你。——雨果

1 雷达方程简介

雷达距离方程包含：

目标特性：如目标反射率（雷达横截面）
雷达特性：如发射机功率、天线孔径
目标和雷达之间的距离：如距离
介质的特性：如大气衰减。

均匀辐射天线发射球面波的功率密度为： $\begin{matrix} (1) & P_{d t} = \frac{P_{t}}{4 π R^{2}} \end{matrix}$ P_{dt} = \frac{P_t}{4\pi R^2}\tag{1} 其中 $P_{t}$ P_t为发射峰值功率， $R$ R为与雷达距离。

带指向增益的辐射天线发射球面波的功率密度为： $\begin{matrix} (2) & P_{d t} = \frac{P_{t} G_{t}}{4 π R^{2}} \end{matrix}$ P_{dt} = \frac{P_tG_t}{4\pi R^2}\tag{2}

其中 $G_{t}$ G_t为天线增益。增益是指天线在给定方向上的辐射强度高于各向同性（均匀辐射）源的辐射强度，其表达式为 $\begin{matrix} (3) & G_{t} = \frac{4 π A_{e}}{λ^{2}} \end{matrix}$ G_t = \frac{4\pi A_e}{\lambda^2}\tag{3} 其中 $A_{e}$ A_e为有效天线孔径面积。

雷达截面积（RCS或σ）是衡量雷达目标拦截并散射回雷达的能量的指标。目标反射信号功率为

$\begin{matrix} (4) & P_{r} = \frac{P_{t} G_{t}}{4 π R^{2}} \times σ \end{matrix}$ P_r = \frac{P_tG_t}{4\pi R^2} \times \sigma \tag{4}

反射信号在雷达处的功率密度为 $\begin{matrix} (5) & P_{d r} = \frac{P_{t} G_{t}}{4 π R^{2}} \times \frac{σ}{4 π R^{2}} \end{matrix}$ P_{dr} = \frac{P_tG_t}{4\pi R^2} \times \frac{\sigma}{4\pi R^2} \tag{5}

接收信号功率为雷达处的功率密度乘以接收天线的面积

$\begin{matrix} (6) & P_{r} = \frac{P_{t} G_{t}}{4 π R^{2}} \times \frac{σ A_{e}}{4 π R^{2}} \end{matrix}$ P_r =\frac{P_tG_t}{4\pi R^2} \times \frac{\sigma A_e}{4\pi R^2}\tag{6}

雷达接收的噪声源主要包括：银河噪声，太阳噪声，大气噪声，地面噪声、人为干扰如雷达、无线广播等。这些噪声源的总效应由天线输出端的单个噪声源表示。接收器处的噪声功率由下式给出：

$\begin{matrix} (7) & N = k B_{n} T_{s} \end{matrix}$ N=kB_nT_s\tag{7}

其中 $k = 1.380649 \times 10 - 23 J / K$ k=1.380649×10−23 J/K为玻尔兹曼常数， $B_{n}$ B_n为接收机噪声带宽， $T_{s}$ T_s为系统热噪声温度。

信噪比可以定以为： $\begin{matrix} (8) & \frac{S}{N} = \frac{P_{r}}{N} = \frac{P_{t} G^{2} λ^{2} σ}{(4 π)^{3} R^{4} K T_{s} B_{n} L} \end{matrix}$ \frac{S}{N}=\frac{P_r}{N}=\frac{P_tG^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3R^4KT_sB_nL}\tag{8}

其中 $L$ L为系统损耗。信噪比（S/N或SNR）是衡量雷达在给定距离检测给定目标能力的标准指标，如在1000公里范围内的1平方米目标上，S/N=13 dB。

系统噪声温度 $T_{s}$ T_s分为3个部分： $\begin{matrix} (9) & T_{s} = T_{a} + T_{r} + L_{r} T_{e} \end{matrix}$ T_s = T_a +T_r+L_rT_e\tag{9}

其中 $T_{a}$ T_a主要来自天线，主要由天空温度和天线损耗构成； $T_{r}$ T_r主要由在天线和接收机间的射频模块产生，射频模块温度； $L_{r}$ L_r为输入射频模块损失， $T_{e}$ T_e为接收机温度。

2 监视雷达方程

监视雷达一般具有搜素和跟踪两种状态。当目标的位置已知并且天线指向目标时，即跟踪状态下的雷达方程上节给出。当目标的位置未知时，雷达必须搜索一个大的角度区域才能找到它，搜索雷达方程如下：

$\begin{matrix} (10) & \frac{S}{N} = \frac{P_{a v} A_{e} t_{s} σ}{4 π Ω R^{4} k T_{s} L} \end{matrix}$ \frac{S}{N}=\frac{P_{av}A_et_s\sigma}{4\pi \Omega R^4 k T_s L}\tag{10}

其中 $P_{a v}$ P_{av}雷达平均功率， $Ω$ \Omega为搜索空域， $t_{s}$ t_s为扫描空域所需时间。跟踪与搜索如下图所示。

搜索雷达方程可以写成如下表示形式，左边对应设计参数，右边对应性能参数。

还可以写成如下平均功率的形式

$\begin{matrix} (11) & P_{a v} = \frac{A_{e} t_{s} σ (S / N)}{4 π Ω R^{4} k T_{s} L} \end{matrix}$ P_{av}=\frac{A_et_s\sigma(S/N)}{4\pi \Omega R^4 k T_s L}\tag{11}