【CF446B】DZY Loves Modification

首先，想到一个很神秘的贪心：每次挑出和最大的一行或一列，对其进行操作。

但是它是错的。

那么这是否给了我们启发，行列一起贪心不可行，那我分开贪心呢？

我们设立两个辅助数组，初始 \(row_{i}=\sum\limits_{j=1}^m a_{i,j}\)，\(col_{j}=\sum\limits_{i=1}^n a_{i,j}\)。

定义 \(f_{0,i}\) 表示在不考虑列的情况下，对行进行 \(i\) 次操作所得最大分数。

显然 \(f_{0,0}=0\) 考虑如何求出 \(f_{0,1},f_{0,2},\cdots,f_{0,k-1},f_{0,k}\)。

不难想到一个贪心策略，每次在 \(row\) 数组中找到最大的值 \(row_{pos}\) 转移 \(f_{0,i}=f_{0,i-1}+row_{pos}\)，再对这一行操作——即 \(row_{pos}\gets row_{pos}-m\times p\)。

类似地定义 \(f_{1,i}\) 表示在不考虑行的情况下，对列进行 \(i\) 次操作所得最大分数。类似地用 \(col\) 转移。

发现需要一个快速找到最大值，对最大值进行修改的数据结构，堆就可以胜任。

最后考虑如果从 \(f_{0/1,i}\) 推得答案。

容易发现，\(i\) 行 \(k-i\) 列的相交次数共有 \(i\times(k-i)\) 个，则 \(ans=\max\{f_{0,i}+f_{1,k-i}-i\times(k-i)\times p\}\)。

#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
int n,m,k,p,i,j;
std::priority_queue<long long> q;
long long f[2][1000005],row[1005],col[1005],a[1005][1005];
int main()
{
	int t=1;
	while(t--)
	{
		long long ret=-(1ll<<60),delta,mid;
		n=read();m=read();
		k=read();p=read();
		for(i=1;i<=k;++i)
			f[0][i]=f[1][i]=0;
		for(i=1;i<=n;++i)
			row[i]=0;
		for(i=1;i<=m;++i)
			col[i]=0;
		for(i=1;i<=n;++i)
			for(j=1;j<=m;++j)
				a[i][j]=read();
		for(i=1;i<=n;++i)
			for(j=1;j<=m;++j)
				row[i]+=a[i][j];
		for(i=1;i<=n;++i)
			for(j=1;j<=m;++j)
				col[j]+=a[i][j];
		while(!q.empty())
			q.pop();
		for(i=1;i<=n;++i)
		{
			q.push(row[i]);
		}
		delta=m*p;
		for(i=1;i<=k;++i)
		{
			f[0][i]=f[0][i-1]+q.top();
			mid=q.top();
			q.pop();
			q.push(mid-delta);
//			printf("%lld\n",q.top());
		}
		while(!q.empty())
			q.pop();
		for(i=1;i<=m;++i)
		{
			q.push(col[i]);
		}
		delta=n*p;
		for(i=1;i<=k;++i)
		{
			f[1][i]=f[1][i-1]+q.top();
			mid=q.top();
			q.pop();
			q.push(mid-delta);
		}
		for(i=0;i<=k;++i)
		{
			ret=std::max(ret,f[0][i]+f[1][k-i]-1ll*i*(k-i)*p);
		}
		printf("%lld\n",ret);
	}
	return 0;
}