【文文殿下】【SDOI2013】随机数生成器 题解
题意
给你个随机数生成器 \(f(x) = a*f(x-1)+b (\mod p)\)，给你初始信息\(a,b,t,p,f(1)\)，问你几次等于\(t\)，如果不等于输出\(-1\).
题解
\[f(n) = a*f(n-1)+b
\]
\[f(n) = c*a^{n-1} + \frac {b(a^n-1)}{a-1} \text { where c is an arbitrary parameter}
\]
不过上面这个式子咱推不出来，考虑矩阵乘法
\[\begin{pmatrix}
a&b\\
0&1
\end{pmatrix}^x
\times
\begin{pmatrix}
f(1)\\
1
\end {pmatrix}
= \begin{pmatrix}
t\\
1
\end{pmatrix}\]
我们考虑一个BSGS用到矩阵上，就把他做了。
如果你要用这个式子的话
\[a^{i\sqrt{p} + k} = b (\mod p)
\]
前面那个转移矩阵的逆矩阵是
\[\begin{pmatrix}
\frac{1}{a}&-\frac{b}{a}\\
0&1
\end{pmatrix} \]
但我懒得用用逆矩阵，直接用下面的这个式子。
\[a^{i\sqrt{p} - k} = b (\mod p)
\]
带了矩阵常数贼大，我还懒得手写hashtable，吸着氧过了。
估计思路这么清(zhi)奇(zhang)的人没几个吧。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p;
int inc(int a,int b) {
a+=b;
return a>=p?a-p:a;
}
int dec(int a,int b) {
a-=b;
return a<0?a+p:a;
}
int mul(int a,int b) {
return 1LL*a*b%p;
}
struct qwq {
int r,c;
int a[3][3];
qwq(){
memset(a,0,sizeof a);
r=c=0;
}
qwq operator * (const qwq& rhs) const {
qwq ret;
ret.r = r,ret.c = rhs.c;
for(int i=1;i<=r;++i) {
for(int j=1;j<=rhs.c;++j) {
for(int k=1;k<=c;++k) {
ret.a[i][j]=inc(ret.a[i][j],mul(a[i][k],rhs.a[k][j]));
}
}
}
return ret;
}
bool operator < (const qwq& rhs) const {
if(r!=rhs.r) return r<rhs.r;
if(c!=rhs.c) return c<rhs.c;
for(int i=1;i<=r;++i)
for(int j=1;j<=c;++j)
if(a[i][j]!=rhs.a[i][j])
return a[i][j]<rhs.a[i][j];
return 0;
}
};
int T,a,b,x1,t,ans;
qwq qpow(qwq a,int b) {
assert(b>=0);
qwq ret;
ret.r=a.r,ret.c=a.c;
for(int i=1;i<=ret.r;++i) ret.a[i][i]=1;
while(b) {
if(b&1) ret=ret*a;
a = a * a;
b>>=1;
}
return ret;
}
bool BSGS(void) {
map<qwq,int> M;
M.clear();
int lmt = sqrt(p)+1;
ans = 0x3f3f3f3f;
qwq base;
base.a[1][1]=a,base.a[1][2]=b,base.a[2][2]=1;
base.r=base.c=2;
qwq fn;
fn.r=2,fn.c=1;
fn.a[1][1]=t,fn.a[2][1]=1;
qwq st;
st.r=2,st.c=1;
st.a[1][1]=x1,st.a[2][1]=1;
qwq step = qpow(base,lmt);
for(int i=1;i<=lmt+1;++i) {
st = step*st;
if(!M.count(st)) {
M[st]=i;
}
}
bool flag = 0;
for(int i=0;i<=lmt;++i) {
if(i) fn = base*fn;
if(M.count(fn)) {
flag = 1;
ans = min(ans,M[fn]*lmt-i);
}
}
return flag;
}
int main() {
scanf("%d",&T);
while(T--) {
scanf("%d%d%d%d%d",&p,&a,&b,&x1,&t);
if(a==0) {
if(x1==t)
puts("1");
else {
if(b==t) {
puts("2");
}
else {
puts("-1");
}
}
}
else {
if(BSGS()) {
printf("%d\n",ans+1);
}
else {
puts("-1");
}
}
}
return 0;
}
