组合数学
容斥原理
\(tot=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}*p(i)\)
排列
全排列公式：\(f(n)=n!\)
有重复元素的排列公式：\(\frac{(\sum p(i))!}{\prod_{i=1}^{n}p(i)!}\)
组合数
组合数通项公式：\(C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)
组合数递推公式：\(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\)
组合数递推公式②：\(C_n^{k+1}=C_{n}^{k}*\frac{n-k}{k+1}\)
组合数恒等式：
\(\sum_{i=0}^n C_n^i = 2^n\)
\(C_n^m=C_n^{n-m}\)
\(\sum_{i=0}^{n} (-1)^i*C_n^i=0\)
\(\sum_{i=0}^n C_n^i*[i\%2=1]=\sum_{i=0}^n C_n^i * [i\%2=0] = 2^{n-1}\)
\(\sum_{i=0}^n (C_n^i)^2=C_{2n}^{n}\)
\((x+y)^n = \sum_{i=0}^n C_n^i*x^i*y^{n-i}\) 即二项式定理
斐波那契数列
\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)
\(f(n)=\sum_{i=0}^{i<=n-i-1} C_{n-i-1}^{i}\) 用2*n方格的多米诺骨牌覆盖问题可证
卡特兰数
\(Cat_n=C_{2n}^{n}*\frac{1}{n+1}\)
\(Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)
\(Cat_{n+1}=Cat_{n}*\frac{2(2n+1)}{n+2}\)
