「高等数学学习笔记 DAY24」

闭区间上连续函数的性质

一直连续性

先介绍函数的一直连续性概念.

设函数在区间 \(I\) 上连续,\(x_0\) 是在 \(I\) 上的任意取定的一个点.由于 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续,因此 \(\forall\varepsilon>0\),\(\exists\ \delta>0\),使得当 \(|x-x_0|<\delta\) 时,就有 \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\).通常这个 \(\delta\) 不仅和 \(\varepsilon\) 有关,而且与给定的 \(x_0\) 有关,即使 \(\varepsilon\) 不变,但选取区间上其他的点作为 \(x_0\) 时,这个 \(\delta\) 就不一定适用了.对于某些函数缺有一种重要情形:存在着只和 \(\varepsilon\) 有关,而对区间上任何点 \(x_0\) 都能适用的正数 \(\delta\),即对于 \(x_0\in I\),只要 \(|x-x_0|<\delta\),就有 \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\).如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上能使这种情形发生,就说函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是一致连续的.

定义

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义.如果对于任意给定的正数 \(\varepsilon\),总存在正数 \(\delta\),使得对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1,x_2\),当 \(|x_1-x_2|<\delta\) 时,有$$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon,$$那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续.

一致连续性表示,不论在区间 \(I\) 的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可使就可使对于的函数达到所给定的接近程度.

由上述定义可知,如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续,那么 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上也是连续的.但反过来不一定成立.

定理4(一致连续性定理)

如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,那么它在改区间上一直连续.