「高等数学学习笔记 DAY22」

连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数的连续性

基本初等函数在他们的定义域内都是连续的.

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间,就是包含定义域内的区间.

根据函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续的定义,如果已知 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续,那么求 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 的极限时,只要求 \(f(x)\) 再点 \(x_0\) 的函数值就行了.因此,上述关于初等函数连续性的结论提供了求极限的一个方法,这就是:如果 \(f(x)\) 是初等函数,且 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的定义区间内的点,那么$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

闭区间上连续函数的性质

如果函数在开区间 \((a,b)\) 内连续,在右端点 \(a\) 左连续,在左端点 \(b\) 右连续那么函数 \(f(x)\) 就是在闭区间 \([a,b]\) 上连续的.在闭区间长连续的函数有几个重要性质.