「高等数学学习笔记 DAY21」

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的四则运算的连续性

由函数在某点连续和极限的四则运算,可以得到以下定理:

定理1

设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续,则它们的和(差)\(f\pm g\),积 \(f\cdot g\),商 \(\frac{f}{g}(g\not=0)\)都在点 \(x_0\) 处连续.

反函数与复合函数的连续性

定理2

如果函数 \(y=f(x)\) 在区间 \(I_x\) 上单调增加(单调减少)且连续,那么它的反函数 \(x=f^{-1}(y)\) 也在对于的区间 \(I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}\) 上单u调递增(单调递减)且连续.

定理3

设函数 \(y=f[g(x)]\) 由函数 \(u=g(x)\) 和函数 \(y=f(x)\) 复合而成,\(\mathring{U}(x_0)\in D_{f\circ g}\).若 \(\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0\),而函数 \(y=f(u)\) 在 \(u=u_0\) 连续则$$\lim_{x\to x_0}f[g(u)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0).$$

证:在复合函数极限运算法则中,令 \(A=f(u_0)\)(这时 \(f(u)\) 在点 \(u_0\) 连续),并取消"存在 \(\delta_0>0\),当 \(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)\) 时,有 \(g(x)\not=u_0\)"这一条件,遍得上面定理,这里 \(g(x)\not=u_0\) 这条件可以取消的理由是:\(\forall\varepsilon>0\),使 \(g(x)=u_0\) 成立的那些点 \(x\),显然也使 \(|f[g(x)]-f(u_0)|<\varepsilon\) 成立.因此附加 \(g(x)\not=u_0\) 这条件也没有必要了.

因为定理3中有$$\lim_{x\to x_0}f(x)=u_0,\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0),$$所以$$\lim_{x\to x_0}f[g(u)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$$可以表示成$$\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=f[\lim_{x\to x_0}g(x)].$$上式表示,在定理3的条件下,如果作代换 \(u=f(x)\),那么求 \(\lim_{x\to x_0}f[g(x)]\) 就化为求 \(\lim_{u\to u_0}f(u)\),这里 \(u_0=\lim_{x\to x_0}g(x)\).在定理3的条件下,求复合函数 \(f[g(x)]\) 的极限时,函数符号 \(f\) 与极限符号 \(\lim_{x\to x_0}\) 可以交换次序.

把定理3中的 \(x\to x_0\) 换成 \(x\to\infty\),可以得到类似的定理.

定理4

**设函数 \(y=f[g(x)]\) 是由函数 \(u=g(x)\) 和函数 \(y=f(u)\) 复合而成,\(U(x_0)\subset D_{f\circ g}\).若函数 \(u=g(x)\) 在 \(x=x_0\) 连续,且 \(g(x_0)=u_0\),而函数 \(y=f(x)\) 在 \(u=u_0\) 连续,则符合函数 \(y=f[g(x)]\) 在 \(x=x_0\) 也连续.

证:只要在定理3中令 \(u_0=g(x_0)\),这就表示 \(g(x)\) 在点 \(x_0\) 连续,于是$$\lim_{x\to x_0}f[g(u)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$$得$$\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=f(u_0)=f[g(x_0)],$$这就证明了符合函数 \(f[g(x)]\) 在点 \(x_0\) 的连续性.