「高等数学学习笔记 DAY18」

函数连续性与间断点

函数的连续性

自然界中有许多现象,如气温的变化,河水的流动,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的间断点.下面我们引出增量的概念,然后描述连续性,然后来描述连续性,并引出函数连续性的定义.

设一个变量 \(u\) 从它的一个初值 \(u_1\) 变到终值 \(u_2\),终值与初值的差 \(u_2-u_1\) 就叫做变量 \(u\) 的增量,记作 \(\Delta u\),即 $$\Delta u=u_2-u_2.$$

增量 \(\Delta u\) 可以是正的,也可以是负的,在 \(\Delta u\) 是正的情形时,变量 \(u\) 从 \(u_1\) 到 \(u_2\) 是增大的;当 \(\Delta u\) 为负时,变量 \(u\) 是减少的.

应该注意到:记号 \(\Delta u\) 并不表示某个量 \(\Delta\) 与 变量 \(u\) 的乘积(估计也不会有人这样认为吧),而是一个整体不可分割的记号.

现在假设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内是有定义的.自变量 \(x\) 在这个邻域内从 \(x_0\) 到 \(x_0+\Delta x\) 时函数值 \(f(x)\) 相应地从 \(f(x_0)\) 变到 \(f(x_0+\Delta x)\),因此函数值的对应增量为$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$习惯上也称 \(\Delta y\) 为函数的增量.

加入保持 \(x_0\) 不变而让自变量的增量 \(\Delta x\) 变动,一般来说,函数 \(\Delta y\) 也要随着变动.现在外面对连续性的概念可以这样描述:如果 \(\Delta x\) 趋近于零时,函数的对应增量 \(\Delta y\) 也趋近于零,即$$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$$或$$\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0,$$那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处是连续的.