「高等数学学习笔记 DAY15」

极限存在的准则 两个重要极限

准则2

单调有界函数必有极限.

如果数列 \(\{x_n\}\) 满足$$x_1\leq x_2\leq x_3\leq\cdots\leq x_{n-1}\leq x_n\leq\cdots,$$就称数列 \(\{x_n\}\) 是单调增加的;同理,如果数列 \(\{x_n\}\) 满足$$x_1\geq x_2\geq x_3\geq\cdots\geq x_{n-1}\geq x_n\geq\cdots,$$就称数列 \(\{x_n\}\) 是单调减少的.单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.

从数轴上看,对于单调数列上的点 \(x_n\) 只会向一个方向移动,所以只会无限远或者趋近于某个定点 \(A\),也就是这个数列的极限,因为这个数列有界,所以不可能会无限远,那么自然就有极限了.

准则2'

设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个左邻域内单调且有界,则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的左极限 \(f(x_0^-)\) 必定存在.

柯西极限存在准则

因为收敛数列不一定单调,因此在准则2中所给出的单调有界,是收敛数列的充分条件,而不是必要的.当然有界这一条件对数列的收敛性来说是必要的.下面叙述的柯西极限存在准则,它给出了数列收敛的充分必要条件.

柯西极限存在准则

数列 \(\{x_n\}\) 收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数 \(\varepsilon\),存在正整数 \(N\),使得 \(n>N,m>N\) 时有$$|x_n-x_m|<\varepsilon.$$

证:必要性:设 \(\lim_{x\to\infty} x_n=a.\)\(\forall \varepsilon>0\),由数列的第定义,\(\exists\ N\in\mathbb{N}_+\),当 \(n>N\) 时,有$$|x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2};$$同样,当 \(m>N\) 时,也有$$|x_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}.$$因此,当 \(n>N,m>N\) 时,有$$|x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\leq|x_n-a|+|x_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,$$所以条件是必要的.

柯西极限存在准则有时也叫作柯西收敛原理.