「高等数学学习笔记 DAY14」

极限存在的准则 两个重要极限

下面讲判定极限存在的两个准则,以及作为应用准则的例子,讨论两个重要极限:\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\) 和 \(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\).

准则1

如果数列 \(\{x_n\}\),\(\{y_n\}\) 和 \(\{z_n\}\) 满足以下条件:

1. 从某项起,即 \(\exists\ n_0\in\mathbb{N}_+\),当 \(n>n_0\) 时,有$$y_n\leq x_n\leq z_n;$$
2. \(\lim_{n\to\infty}y_n=a,\lim_{n\to\infty}z_n=a\)

那么数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在,且 \(\lim_{n\to\infty}x_n=a\).

证:因为 \(y_n\to a\),\(z_n\to a\),所以根据数列极限的定义,\(\forall\varepsilon>0\).\(\exists\ N_1\in\mathbb{N}_+\),当 \(n>N_1\) 时,有 \(y_n-a<\varepsilon\);又 \(\exists\ \N_2\in\mathbb{N}_+\),当 \(n>N_2\) 时,有 \(|z_n-a|<\varepsilon\).现在取 \(N=\max\{n_0,N_1,N_2\}\),则当 \(n>N\) 时,有$$|y_n-a|<\varepsilon,|z_n-a|<\varepsilon$$同时成立,即$$a-\varepsilon<y_n<a+\varepsilon,a-\varepsilon<z_n<a+\varepsilon$$同时成立.又因为当 \(n>N\) 时,\(x_n\) 介于 \(y_n\) 和 \(z_n\) 之间,从而有$$a-\varepsilon<y_n\leq x_n\leq z_n<a+\varepsilon,$$即\(|x_n-a|<\varepsilon\)成立.这就证明了 \(\lim_{n\to\infty} x_n=a\).

同样也可以用在函数极限的证明中.

准则1'

如果

1. 当 \(x\in\mathring{U}{x_0,r}\)(或 \(|x|>M\))时,$$g(x)\leq f(x)\leq h(x);$$
2. \(\mathop{\lim_{x\to x_0}g(x)}\limits_{(x\to\infty)}=A\),\(\mathop{\lim_{x\to x_0}h(x)}\limits_{(x\to\infty)}=A\),

那么 \(\mathop{\lim_{x\to x_0}f(x)}\limits_{(x\to\infty)}\) 存在,且等于 \(A\).

准则1(准则1')称为夹逼准则.