「高等数学学习笔记 DAY13」

极限运算法则

定理6(符合函数极限运算法则)

设函数 \(f[g(x)]\) 是由函数 \(u=g(x)\) 与 \(y=f(u)\) 复合而成,\(f[g(x)]\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义,若 \(lim_{x\to x_0}g(x)=u_0\),\(\lim_{u\to u_0}f(u)=A\) ,且存在 \(\delta_0>0\),当 \(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)\) 时,有 \(f(x)\not=u_0)\) 则$$lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=A$$.

证:按函数极限的定义,要证:\(\forall\varepsilon>0\),\(\exists\ \delta>0\) 使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时$$|f[g(x)]-A|<\varepsilon$$成立.

由于 \(\lim_{u\to u_0}f(u)=A\),\(\forall \varepsilon>0\),\(\exists\ \eta>0\),当 \(0<|u-u_0|<\eta\) 时,\(|f(u)-A|<\varepsilon\) 成立.

又由于 \(\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0\),对于上式得到的 \(\eta>0\),\(\exists\ \delta_1>0\),当 \(0<|x-x_0]|<\delta_1\) 时,\(|g(x)-u_0|<\eta\) 成立.

由假设,当 \(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)\) 时,\(g(x)\not=u_0\).取 \(\delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}\),则当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,\(|g(x)-u_0|<\eta\) 和 \(|g(x)-u_0|\not=0\) 同时成立,即 \(0<|g(x)-u_0|<\eta\) 成立,从而$$|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<\varepsilon$$成立.