「高等数学学习笔记 DAY12」

极限的运算法则

定理3

如果 \(\lim f(x)=A\),\(\lim g(x)=B\),那么

1. \(\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A+B\);
2. \(\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B\);
3. 若又有 \(B\not=0\),则$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}.$$

证:(感觉比较显然,但是书上面的证明过于麻烦,可以自己想一下证明方法)

推论1:如果 \(\lim f(x)\) 存在,而 \(c\) 为常数,那么$$\lim[c f(x)]=c\lim f(x).$$

推论2:如果 \(\lim f(x)\) 存在,而 \(n\) 是正整数,那么$$\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$$

定理4

设有数列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\).如果$$\lim_{x\to\infty}x_n=A,\lim_{x\to\infty}y_n=B,$$那么

1. \(\lim_{x\to\infty}(x_n\pm y_n)=A+B\);
2. \(\lim_{x\to\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B\);
3. 当 \(y_n\not=0(n=1,2,\dots)\) 且 \(B\not=0\) 时,\(\lim_{x\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}\).

定理5

**如果 \(g(X)\geq f(x)\),而 \(\lim g(x)=A,\lim f(x)=B\),那么 \(A\geq B\).